[USACO07DEC] Sightseeing Cows

最新推荐文章于 2023-06-28 21:46:53 发布

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二分答案

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本文探讨了如何使用分数规划和SPFA算法解决特定类型的最优化问题。通过将目标转换为寻找负环的存在性，利用SPFA算法进行验证，实现了比值最大值的求解。文章详细介绍了算法实现过程及关键步骤。

题目链接

这道题，因为求得是比值的最大值，所以我们考虑分数规划

分数规划的思想就是二分一下答案，然后判断是否可以
顺着这个思路，我们设
$ans=\frac{\sum f_i}{\sum t_i}\geq \delta$
$\sum f_i \geq \sum t_i\cdot\delta$
$\sum t_i\cdot \delta-\sum f_i\leq 0$

那么题目就转变成了对于之前的图，当边权变成 $t_i\cdot\delta-f_{to}$ 的时候，是否存在负环，如果存在，那么这个二分出来的 $d e l t a$ 就是满足条件的，我们让 $l$ 变成 $m i d$ ，否则不满足条件， $r = m i d$

答案就是 $l$ 啦

还有一个问题就是 $r$ 的初始值设成多少，很明显应该是 $\sum f_i$ ，但是因为此题数据比较水，r=100也能过，为了卡时间还是弄小点好

# include <bits/stdc++.h>
# define Rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
# define _Rep(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
# define RepG(i,u) for(int i=head[u];~i;i=e[i].next)

typedef long long ll;
const int N=1e5+5;
const int inf=0x7fffffff;
const double eps=1e-7;
template <typename T> void read(T &x){
	x=0;int f=1;
	char c=getchar();
	for(;!isdigit(c);c=getchar())if(c=='-')f=-1;
	for(;isdigit(c);c=getchar())x=(x<<1)+(x<<3)+c-'0';
	x*=f;
}

int n,m;
int head[N],cnt;
int f[N];
double l,r,ans;
double dis[N];
int tot[N];
bool inq[N];

struct Edge{
	int to,next,w;	
}e[N];

void add(int x,int y,int c){
	e[++cnt]=(Edge){y,head[x],c},head[x]=cnt;	
}

bool spfa(double delta){
	Rep(i,1,n)dis[i]=1e9;
	memset(tot,0,sizeof(tot));
	memset(inq,0,sizeof(inq));
	queue<int> q;
	q.push(1);
	inq[1]=true;
	dis[1]=0;
	while(!q.empty()){
		int u=q.front();q.pop();
		inq[u]=false;
		if(++tot[u]==n-1)return true;
		for(int i=head[u];~i;i=e[i].next){
			int v=e[i].to;
			double d=delta*e[i].w-f[e[i].to];
			if(dis[v]>dis[u]+d){
				dis[v]=dis[u]+d;
				if(!inq[v])q.push(v),inq[v]=true;	
			}
		}
	}
	return false;
}

int main()
{
	memset(head,-1,sizeof(head)); 
	read(n),read(m);
	Rep(i,1,n)read(f[i]);
	Rep(i,1,m){
		int x,y,c;
		read(x),read(y),read(c);
		add(x,y,c);	
	}
	l=0,r=1e2;
	while(r-l>eps){
		double mid=(l+r)/2;
		if(spfa(mid))l=mid;
		else r=mid;	
	}
	printf("%.2lf\n",l);
	return 0;
}