[CTSC2002] 颁奖典礼

0.我为什么要写这篇博客

因为我太菜了，网上其他的有关于这道题的博客全都看不懂
而且写博客的人都比较巨，比如说$kaiser$神仙（orz您）
后来我在$akioi$的$gjm$的帮助下理解了这道题（IOI选手果然是轻松切掉ctsc题）

1.O(nm^4)算法

题目链接

题目大意就是给你一个$n\times m$的01矩阵，让你求出最大的完全由0构成的$I$字形区域的面积

这道题我们很明显可以把问题简化一下，变成处理三个矩形，那么状态我们就设计出来了
$f[i][j][k][l](l=1,2,3)$表示我们现在取第$i$行的$[j,k]$这一段，作为第$l$个矩形的一部分
为了判断这一段是不是全是0，我们可以开一个数组$sum[i][j]$表示第$i$行，前$j$个数的和

那么转移就差不多是这个样子的
f [ i ] [ j ] [ k ] [ l ] = m a x { f [ i − 1 ] [ j ] [ k ] [ l ] , f [ i − 1 ] [ x ] [ y ] [ l − 1 ] } + k − j + 1 ( s u m [ i ] [ k ] = s u m [ i ] [ j − 1 ] ) f[i][j][k][l]=max\{ f[i-1][j][k][l],f[i-1][x][y][l-1]\}+k-j+1(sum[i][k]=sum[i][j-1]) f[i][j][k][l]=max{ f[i−1][j][k][l],f[i−1][x][y][l−1]}+k−j+1(sum[i][k]=sum[i][j−1])
就是说，在第$i$层这个区间的状态，可以通过上一层的继承过来，也可以通过上一个矩形的一个区间继承过来，这个区间需要满足相应的条件（我们下面说），在加上这一区间的长度，因为我们每次只扩展一行

这样的话我们会得到一个$O(n{m}^4)$的算法，但是$n\le 200$我们至少要把他优化到$O(n{m}^{2}log)$级别（当然这道题很明显不带$log$）

2.O(nm^2)算法

2.1 g数组

这里我们看一下，$I$是一个什么样的结构，比如说我们设这3个矩形的左右端点分别是$[l_1,r_1]$,$[l_2,r_2]$,$[l_3,r_3]$（高度我们先不管他）
那么，为了满足$I$字形的条件，中间那个矩形要比两边的都要窄，也就是说
l 1 < l 2 ≤ r 2 < r 1 , l 3 < l 2 ≤ r 2 < r 3 l_1<l_2\leq r_2<r_1,l_3<l_2\leq r_2<r_3 l<