8、带计数的逻辑：增强一阶逻辑的表达能力

带计数的逻辑：增强一阶逻辑的表达能力

1 计数和一元量词

在有限模型理论中，一阶逻辑（FO）虽然强大，但在表达某些属性时显得力不从心。例如，它无法表达基数的非平凡性质，如奇偶性或基数比较。为了弥补这些不足，我们可以通过引入计数机制来扩展一阶逻辑。以下是几种常见的扩展方式：

1.1 计数量词

计数量词是一种用于表达集合中元素数量的量词。例如， ∃ixϕ(x) 表示存在至少 i 个元素 x 满足 ϕ(x) 。为了支持这种扩展，我们需要引入一个数值域，通常是自然数集 {0, ..., n-1} ，并在其上定义加法和乘法等算术运算。

示例：定义奇偶性

假设我们有一个公式 ϕ(x) ，我们可以通过以下方式定义奇偶性：

∃i∃j ((i = j + j) ∧ ∃ixϕ(x) ∧ (∀k (k > i) → ¬∃kxϕ(x)))

这段公式表示存在一个偶数 i ，使得恰好有 i 个元素满足 ϕ(x) 。

1.2 一元量词

另一种扩展方式是一元量词。一元量词允许我们对集合的基数进行声明，而无需显式地引用数值域。例如， Qevenxϕ(x) 表示满足 ϕ(x)