感应（异步）电机无速度传感器技术—电压模型法

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前言

谈过了感应电机的磁场定向控制（FOC），接下来我想写写无速度传感器。首先，在没有速度传感器的情况下，磁场定向还怎么搞？那就需要估计磁链，如果能估算出磁链的角度，就能进行磁场定向控制。
磁链估计最原始的方法是电压模型方法，本文接下来将搬出古老的电压模型法及其改进方法。

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一、电压模型

电压模型下转子磁链为
$$\begin{gathered} {\mathbf{\psi }}_{\text{r}}=\int {\mathbf{e}}_{\text{r}}dt \\ {\mathbf{e}}_{\text{r}}=\frac{L_{\text{r}}}{L_{\text{m}}}({\mathbf{u}}_{\text{s}}-R_{\text{s}}{\mathbf{i}}_{\text{s}}-\sigma L_{\text{s}}\frac{d{\mathbf{i}}_{\text{s}}}{dt}) \end{gathered}$$
上面加黑的全是矢量，用复数表示，如转子磁链矢量${\mathbf{\psi }}_{\text{r}}={\psi }_{\text{r}\alpha }+j{\psi }_{\text{r}\beta }$，即αβ坐标系下，实数为α分量，虚数为β分量，大家不要觉得别扭，有些大佬的文章就是这样表示的。${\mathbf{e}}_{\text{r}}$为转子反电动势。
转子反电动势纯积分得到转子磁链，积分很容易累积误差，公式里的变量都是交流量，有误差就会累积到转子磁链计算结果里，而这种误差在实际系统里非常容易发生。因此，纯积分存在积分初值和漂移的问题。纯积分漂移意味着直流和低频分量多了，很容易联想到在纯积分后接一个高通滤波器，如果是一个一阶的高通滤波器，就是这样
$${\hat{\mathbf{\psi }}}_{\text{r}}=\frac{{\mathbf{e}}_{\text{r}}}{s}\ast G_{\text{HPF}}=\frac{{\mathbf{e}}_{\text{r}}}{s}\ast \frac{s}{s+{\omega }_{\text{c}}}=\frac{1}{s+{\omega }_{\text{c}}}{\mathbf{e}}_{\text{r}}$$
${\omega }_{\text{c}}$为高通滤波器的截止频率。上式就是一个可用的电压模型估计转子磁链。
很多文献喜欢把$1/(s+{\omega }_{\text{c}})$叫低通滤波器，但是请注意，一阶低通滤波器的准确表示是
$$G_{\text{LPF}}(s)=\frac{{\omega }_{\text{c}}}{s+{\omega }_{\text{c}}}$$
有一个增益上的差别。
高通滤波器的波特图为


由高通滤波器的波特图可以看到，截止频率${\omega }_{\text{c}}$以下，幅度衰减，如果电机转速对应的电频率在这个频率以下，那么磁链估计必然失真。因此，高通滤波器的引入虽然能滤除积分漂移，但是会带来低速性能下降。这种低通滤波积分器只能用在高速。
为了改善低速性能，就出现了一些补偿方法。

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二、电压模型补偿方法

1、磁链参考值补偿法

T. Ohtani, N. Takada and K. Tanaka, “Vector control of induction motor without shaft encoder,” in IEEE Transactions on Industry Applications, vol. 28, no. 1, pp. 157-164, Jan.-Feb. 1992, doi: 10.1109/28.120225.
这篇论文里是这样补偿的，用磁链参考值经过低通滤波器来补偿。这种补偿思想非常妙。
$$\begin{array}{rl}{\hat{\mathbf{\psi }}}_{\text{r}}& =\frac{1}{s+{\omega }_{\text{c}}}{\mathbf{e}}_{\text{r}}+\frac{{\omega }_{\text{c}}}{s+{\omega }_{\text{c}}}{\mathbf{\psi }}_{\text{r}}^{\ast }\\ & =\frac{1}{s+{\omega }_{\text{c}}}{\mathbf{e}}_{\text{r}}+\frac{{\omega }_{\text{c}}}{s+{\omega }_{\text{c}}}{\Psi }_{\text{r}}^{\ast }{e}^{j{\hat{\theta }}_{\text{r}}}\end{array}$$
${\Psi }_{\text{r}}^{\ast }$为转子磁链参考值幅值，${\hat{\theta }}_{\text{r}}$为估计的转子磁链角，${\hat{\theta }}_{\text{r}}=\arctan (\frac{{\hat{\psi }}_{\text{r}\beta }}{{\hat{\psi }}_{\text{r}\alpha }})$。
为什么这样可以？且看下面，如果转子反电动势纯积分没有漂移，那么它就是转子磁链。如果实际磁链与参考磁链相等，低通滤波器正好与高通滤波器互补，磁链估计值就是实际值。
$$\begin{array}{rl}{\hat{\mathbf{\psi }}}_{\text{r}}& =\frac{s}{s+{\omega }_{\text{c}}}\ast \frac{{\mathbf{e}}_{\text{r}}}{s}+\frac{{\omega }_{\text{c}}}{s+{\omega }_{\text{c}}}{\mathbf{\psi }}_{\text{r}}^{\ast }\\ & =\frac{s}{s+{\omega }_{\text{c}}}{\mathbf{\psi }}_{\text{r}}+\frac{{\omega }_{\text{c}}}{s+{\omega }_{\text{c}}}{\mathbf{\psi }}_{\text{r}}^{\ast }\\ & =(\frac{s}{s+{\omega }_{\text{c}}}+\frac{{\omega }_{\text{c}}}{s+{\omega }_{\text{c}}}){\mathbf{\psi }}_{\text{r}}\\ & ={\mathbf{\psi }}_{\text{r}}\end{array}$$

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2、磁链估计值补偿法

Jun Hu and Bin Wu, “New integration algorithms for estimating motor flux over a wide speed range,” in IEEE Transactions on Power Electronics, vol. 13, no. 5, pp. 969-977, Sept. 1998, doi: 10.1109/63.712323.
这篇文章将上面所述的磁链参考值换为磁链估计值。但是注意，直接用自己补偿自己，这样容易发散。因此，文章给补偿量加了饱和函数，限制补偿量的范围。
$${\hat{\mathbf{\psi }}}_{\text{r}}=\frac{1}{s+{\omega }_{\text{c}}}{\mathbf{e}}_{\text{r}}+\frac{{\omega }_{\text{c}}}{s+{\omega }_{\text{c}}}\text{sat}({\hat{\mathbf{\psi }}}_{\text{r}})$$

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3、d轴电流参考值补偿法

李永东, 李明才,and 郑泽东.“异步电机无速度传感器矢量控制低速发电不稳定问题研究”.第12届全国电气自动化与电控系统学术年会论文集.Ed.刘英、倪蒲蕾、张虹. 《电气传动》编辑部, 2004, 58-62.
李明才博士在他的博士论文《感应电机宽范围无速度传感器矢量控制系统研究》中提出了这个方法。他在改进电压模型（低通滤波积分器）中引入转子磁场定向下的电流模型，如下式，将磁链补偿替换为电流模型补偿。需要注意此电流模型已经在转子磁场定向下。
$${\hat{\mathbf{\psi }}}_{\text{r}}=\frac{1}{s+{\omega }_{\text{c}}}{\mathbf{e}}_{\text{r}}+\frac{{\omega }_{\text{c}}}{s+{\omega }_{\text{c}}}\frac{L_{\text{m}}}{T_{\text{r}}s+1}{i}_{\text{sd}}^{\ast }{e}^{j{\hat{\theta }}_{\text{r}}}$$
为什么可以这样呢？因为在转子磁场定向的情况下，转子磁链可表示为
$${\mathbf{\psi }}_{\text{r}}={\psi }_{\text{rd}}{e}^{j{\theta }_{\text{r}}}=\frac{L_{\text{m}}}{T_{\text{r}}s+1}{i}_{\text{sd}}{e}^{j{\theta }_{\text{r}}}$$

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4、d轴电流实际值补偿法

将上面的d轴电流参考值替换为实际值，则估计公式为
$${\hat{\mathbf{\psi }}}_{\text{r}}=\frac{1}{s+{\omega }_{\text{c}}}{\mathbf{e}}_{\text{r}}+\frac{{\omega }_{\text{c}}}{s+{\omega }_{\text{c}}}\frac{L_{\text{m}}}{T_{\text{r}}s+1}{i}_{\text{sd}}{e}^{j{\hat{\theta }}_{\text{r}}}$$
这种磁链估计方法与TI例程里的方法颇有渊源，待我下次更新详细说明。

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5、静态补偿电压模型

Myoung-Ho Shin, Dong-Seok Hyun, Soon-Bong Cho and Song-Yul Choe, “An improved stator flux estimation for speed sensorless stator flux orientation control of induction motors,” in IEEE Transactions on Power Electronics, vol. 15, no. 2, pp. 312-318, March 2000, doi: 10.1109/63.838104.
M. Hinkkanen and J. Luomi, “Modified integrator for voltage model flux estimation of induction motors,” in IEEE Transactions on Industrial Electronics, vol. 50, no. 4, pp. 818-820, Aug. 2003, doi: 10.1109/TIE.2003.814996.
这两篇论文直接补偿滤波器带来的幅值和相位误差，而且截止频率随电角频率变化。
$${\hat{\mathbf{\psi }}}_{\text{r}}=\frac{1-j\lambda \text{sign}({\hat{\omega }}_{\text{s}})}{s+\lambda |{\hat{\omega }}_{\text{s}}|}{\mathbf{e}}_{\text{r}}$$
λ为0~1之间的数，${\hat{\omega }}_{\text{s}}$为定子角频率，${\hat{\omega }}_{\text{s}}=\frac{d{\hat{\theta }}_{\text{r}}}{dt}$，滤波器截止频率${\omega }_{\text{c}}=\lambda |{\hat{\omega }}_{\text{s}}|$。

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三、速度估计

由${\hat{\omega }}_{\text{s}}=\frac{d{\hat{\theta }}_{\text{r}}}{dt}$得出定子频率（微分后一定要滤波），再减去转差频率就可以得到转速了。
$$\begin{gathered} {\hat{\omega }}_{\text{sl}}=\frac{L_{\text{m}}}{T_{\text{r}}}\frac{{\hat{\psi }}_{\text{r}\alpha }{i}_{\text{s}\beta }-{\hat{\psi }}_{\text{r}\beta }{i}_{\text{s}\alpha }}{{\hat{\psi }}_{\text{r}\alpha }^2+{\hat{\psi }}_{\text{r}\beta }^2} \\ {\hat{\omega }}_{\text{m}}=\frac{{\hat{\omega }}_{\text{r}}}{n_{\text{p}}}=\frac{{\hat{\omega }}_{\text{s}}-{\hat{\omega }}_{\text{sl}}}{n_{\text{p}}} \end{gathered}$$
此外，大家可以将上面的磁链估计方法作为参考模型，用MRAS估计速度。

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总结

以上就是对电压模型的梳理，可能还有其他变形没有考虑进来。本人仿真对比后发现，d轴电流实际值补偿法性能表现最好，大家可考虑该方法估计磁链。