感应（异步）电机无速度传感器技术—电压模型法

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前言

谈过了感应电机的磁场定向控制（FOC），接下来我想写写无速度传感器。首先，在没有速度传感器的情况下，磁场定向还怎么搞？那就需要估计磁链，如果能估算出磁链的角度，就能进行磁场定向控制。
磁链估计最原始的方法是电压模型方法，本文接下来将搬出古老的电压模型法及其改进方法。

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一、电压模型

电压模型下转子磁链为
$$\begin{gathered} {\mathbf{\psi }}_{\text{r}}=\int {\mathbf{e}}_{\text{r}}dt \\ {\mathbf{e}}_{\text{r}}=\frac{L_{\text{r}}}{L_{\text{m}}}({\mathbf{u}}_{\text{s}}-R_{\text{s}}{\mathbf{i}}_{\text{s}}-\sigma L_{\text{s}}\frac{d{\mathbf{i}}_{\text{s}}}{dt}) \end{gathered}$$
上面加黑的全是矢量，用复数表示，如转子磁链矢量${\mathbf{\psi }}_{\text{r}}={\psi }_{\text{r}\alpha }+j{\psi }_{\text{r}\beta }$，即αβ坐标系下，实数为α分量，虚数为β分量，大家不要觉得别扭，有些大佬的文章就是这样表示的。${\mathbf{e}}_{\text{r}}$为转子反电动势。
转子反电动势纯积分得到转子磁链，积分很容易累积误差，公式里的变量都是交流量，有误差就会累积到转子磁链计算结果里，而这种误差在实际系统里非常容易发生。因此，纯积分存在积分初值和漂移的问题。纯积分漂移意味着直流和低频分量多了，很容易联想到在纯积分后接一个高通滤波器，如果是一个一阶的高通滤波器，就是这样
$${\hat{\mathbf{\psi }}}_{\text{r}}=\frac{{\mathbf{e}}_{\text{r}}}{s}\ast G_{\text{HPF}}=\frac{{\mathbf{e}}_{\text{r}}}{s}\ast \frac{s}{s+{\omega }_{\text{c}}}=\frac{1}{s+{\omega }_{\text{c}}}{\mathbf{e}}_{\text{r}}$$
${\omega }_{\text{c}}$为高通滤波器的截止频率。上式就是一个可用的电压模型估计转子磁链。
很多文献喜欢把$1/(s+{\omega }_{\text{c}})$叫低通滤波器，但是请注意，一阶低通滤波器的准确表示是
$$G_{\text{LPF}}(s)=\frac{{\omega }_{\text{c}}}{s+{\omega }_{\text{c}}}$$
有一个增益上的差别。
高通滤波器的波特图为


由高通滤波器的波特图可以看到，截止频率