矩阵乘法（GEMM）

最新推荐文章于 2025-12-15 23:36:55 发布

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#矩阵 #线性代数

1. 矩阵乘法的基本原理（线性代数）

矩阵乘法是线性代数中的一个核心操作。假设我们有两个矩阵 (A) 和 (B)，它们的尺寸分别是 (M \times K) 和 (K \times N)，我们要计算它们的乘积 (C = A \times B)，其中 (C) 的尺寸是 (M \times N)。

矩阵乘法的定义：

对于矩阵 (C) 中的每个元素 (C[i,j])，它是矩阵 (A) 的第 (i) 行与矩阵 (B) 的第 (j) 列的点积。公式如下：
[
C[i,j] = \sum_{k=1}^{K} A[i,k] \times B[k,j]
]
也就是说，矩阵 (C) 的每个元素是通过矩阵 (A) 的某一行和矩阵 (B) 的某一列相乘并求和得到的。

例如，假设：

(A) 是一个 (2 \times 3) 矩阵：
[
A = \begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \
4 & 5 & 6
\end{bmatrix}
]

(B) 是一个 (3 \times 2) 矩阵：
[
B = \begin{bmatrix}
7 & 8 \
9 & 10 \
11 & 12
\end{bmatrix}
]

那么，矩阵 (C = A \times B) 就是：
[
C[1,1] = (1 \times 7) + (2 \times 9) + (3 \times 11) = 7 + 18 + 33 = 58
]
[
C[1,2] = (1 \times 8) + (2 \times 10) + (3 \times 12) = 8 + 20 + 36 = 64
]
[
C[2,1] = (4 \times 7) + (5 \times 9) + (6 \times 11) = 28 + 45 + 66 = 139
]
[
C[2,2] = (4 \times 8) + (5 \times 10) + (6 \times 12) = 32 + 50 + 72 = 154
]

所以，矩阵乘积 (C) 是：
[
C = \begin{bmatrix}
58 & 64 \
139 & 154
\end{bmatrix}
]

2. 优化矩阵乘法（GEMM）的数学原理

在计算机上执行矩阵乘法时，我们希望尽可能高效。一个常见的优化目标是 减少内存访问 和 增加计算吞吐量。这涉及到一些线性代数和高等数学的技巧，以下是几种常见的优化方法：

2.1 分块矩阵乘法（Block Matrix Multiplication）

在大矩阵乘法中，通常会遇到内存访问瓶颈，尤其是当矩阵过大时。如果我们将大矩阵分成小块，并在小块之间进行矩阵乘法，可以显著提高内存访问的效率。这称为 分块矩阵乘法，其基本原理是通过 缓存局部性 提高内存的访问效率。

假设矩阵 (A) 和 (B) 的尺寸很大，你可以将它们分割成多个小块（tile），每个小块的大小为 (p \times q)，然后在每个小块之间执行矩阵乘法。这种方法使得每次访问的内存块都很小，因此可以充分利用缓存（共享内存）。

数学原理：

设 (A) 为 (M \times K) 矩阵，(B) 为 (K \times N) 矩阵，矩阵 (C = A \times B) 为 (M \times N) 矩阵。如果我们将 (A) 和 (B) 划分为 (p \times q) 的小块，那么：
[
A = \begin{bmatrix} A_1 & A_2 & \dots & A_n \end{bmatrix}
]
[
B = \begin{bmatrix} B_1 & B_2 & \dots & B_n \end{bmatrix}
]
[
C = \sum_{i=1}^{n} A_i \times B_i
]
在每次计算时，只需要加载每个小块并计算它们的乘积，之后再合并得到最终的矩阵。

2.2 向量化与并行化

现代 GPU 支持 SIMD（单指令多数据） 和 SIMT（单指令多线程） 并行化，可以显著加速矩阵乘法操作。向量化（即使用 SIMD 指令）可以让 CPU 或 GPU 在一次操作中同时计算多个元素，从而加速矩阵乘法。

例如，在 CUDA 中，我们通过将矩阵数据加载到共享内存，允许多个线程并行计算矩阵的每个元素，并尽可能地减少内存访问延迟。

3. 推导与优化

3.1 优化矩阵乘法的计算复杂度

在传统的矩阵乘法中，计算复杂度为 (O(M \times N \times K))，这意味着计算量与矩阵的尺寸成正比。通过 Strassen 算法 等高级优化方法，矩阵乘法的复杂度可以降低到 (O(n^{\log_2 7}) \approx O(n^{2.81}))。这对大规模矩阵运算尤其重要。

3.2 利用 CUDA 优化内存访问

当我们在 CUDA 中实现矩阵乘法时，我们会关注如何合理利用 寄存器 和 共享内存。例如，通过在每个线程块内使用共享内存存储局部矩阵块，可以减少对全局内存的访问，从而加速计算过程。

总结

线性代数原理：矩阵乘法的基本原理是点积，通过对两个矩阵的行列进行逐元素相乘并求和得到结果。
优化方法：
- 分块矩阵乘法：通过将矩阵划分为小块，提高内存访问效率。
- 向量化与并行化：利用 SIMD 或 SIMT 让多个计算同时进行，提升性能。
- 优化计算复杂度：如 Strassen 算法，通过减少计算量来加速矩阵乘法。
CUDA 优化：通过合理使用共享内存和寄存器，减少内存带宽瓶颈，提高计算吞吐量。