概率分布（多项分布，Dirichlet分布）

在机器学习领域中，概率模型是一个常用的利器。用它来对问题进行建模，有几点好处：1）当给定参数分布的假设空间后，可以通过很严格的数学推导，得到模型的似然分布，这样模型有很好的概率解释；2）可以利用现有的EM算法或者Variational method来学习。通常为了方便推导参数的后验分布，会假设参数的先验分布是似然的某个共轭分布，这样后验分布和先验分布具有相同的形式，这可以大大简化建模过程中的数学推导，保证最后的形式是tractable。

在概率模型中，Dirichlet这个词出现的频率非常的高。初学机器学习的同学，在学习概率模型的时候，很多同学都不清楚为啥一个表现形式如此奇怪的分布Dirichlet分布会出现在我们的教科书中，它是靠啥关系攀上了多项分布（Multinomial distribution）这个亲戚的，以至于它可以“堂而皇之”地扼杀我大天朝这么多数学家和科学家梦想的？为了引出背后这层关系，我们需要先介绍一个概念——共轭先验（Conjugate Prior）。

• 在贝叶斯统计理论中，如果某个随机变量Θ的后验概率 p(θ|x)和其先验概率p(θ)属于同一个分布簇的，那么称p(θ|x)和p(θ)为共轭分布，同时，也称p(θ)为似然函数p(x|θ)的共轭先验。
• 事情还没有发生,要求这件事情发生的可能性的大小，是先验概率。事情已经发生，要求这件事情发生的原因是由某个因素引起的可能性的大小，是后验概率。

1、累积分布函数（分布函数）（CDF-Cumulative Distribution Function）

分布函数的定义为

$$F_X(x)=P(X \leq x)$$
假设$P(X=0) = \frac{1}{4}, P(X=1) = \frac{1}{2}, P(X=2) = \frac{1}{4}$,那么分布函数如下图所示：

这里需要注意两点

• 函数是右连续的
• $F_X(1.4) = \frac{3}{4}$, 这里$P(1 \leq X < 2) = \frac{1}{2}$

因此F函数始终是非降的, 右连续的, 且$\lim\limits_{x\rightarrow\infty}F(x) = 1$

2、概率密度函数（PDF-Probability Density Function）

离散随机变量的密度函数为：

$$f_X(x) = P(X = x)$$
对于连续随机变量，若存在一个函数$f_X$对所有的x均满足$f_X(x) \geq 0$，$\int_b^a f_X(x)dx = 1$，并且有
$$P(a < X < b) = \int_b^af_X(x)dx$$
则$f_X$就是$F_X(x)$的密度函数，并且$F_X(x)=\int_{−∞}^x f_X(t)dt， f_X(x)=\frac{d}{dx}F_X(x)$，这是一个很重要的概念，后面所谓的密度估计（density estimation）(EM algorithm和Sampling Methods)都是要估计出一个概率密度函数来。

3、伯努利分布，二项分布

• 伯努利分布就是对单次抛硬币的建模，X~Bernoulli(p)的密度函数是$f(x)=p^x(1-p)^{1-x}$，随机变量只能取{0，1}。对于所有的密度函数都要归一化！而伯努利分布天然是归一化。因此归一化参数就是1.

• 多次伯努利实验即为二项分布，其密度函数为
  

  $$f(x)=P(X=x)=P(X=x | n,p) = C_n^x p^x(1-p)^{n-x}$$
  这里$C_n^x$可以看作是二项分布的归一化参数。

4、$\beta$分布

概率密度函数

$$f(x)=\frac{\Gamma (\alpha + \beta)}{\Gamma (\alpha) \Gamma (\beta)} x^{\alpha -1} (1-x)^{\beta -1}$$
其中 $$\Gamma (x)=\int_0^\infty t^{x-1}e^{-t}dt$$ 通过分部积分法，可推导出这个函数有如下递归性质 $$\Gamma (x+1) = x \Gamma(x)$$ $\Gamma(x)$函数可以看作是阶乘在实数集上的延拓，具有如下性质 $$\Gamma(n)=(n-1)!$$

5、多项分布

把二项分布再推广，就得到多项分布。二项分布的典型例子是扔硬币，硬币正面向上的概率为p，重复扔n次硬币，k次为下面的概率即为一个二项分布。二项分布即为多重伯努利实验。
不同于扔硬币，多项分布类似于扔骰子。假设萤火虫对食物的喜欢程序，我们给三种选择：花粉，蚜虫，面团。假设20%的萤火虫喜欢花粉，35%的萤火虫喜欢蚜虫，45%的萤火虫喜欢面团。我们对30只萤火虫做实验，发现8只喜欢花粉，10只喜欢蚜虫，12只喜欢面团，这件事的概率为

$$P(N_1=8, N_2=10, N_3=12) = \frac{30!}{8!10!12!} 0.2^8 0.35^{10} 0.45^{12}$$
这时的参数$\mu$变成了一个向量$\vec{\mu} = \{\mu_1, \mu_2, ... , \mu_k\}$表示第一个取值被选中的概率，这里为$\vec{\mu}=\{0.2, 0.35, 0.45\}$，那么X~Multinomial(n,p)的PDF为：
$$f(x)=P(m_1, m_2, ..., m_k | n, \vec{\mu}) = \frac{n!}{\prod_{i=1}^k m_i !} \prod \mu_x^{m_i}$$

6、Dirichlet Distribution（迪利特雷分布）

Dirichlet分布可以看做是分布之上的分布。如何理解这句话，我们可以先举个例子：假设我们有一个骰子，其有六面，分别为{1,2,3,4,5,6}。现在我们做了10000次投掷的实验，得到的实验结果是六面分别出现了{2000,2000,2000,2000,1000,1000}次，如果用每一面出现的次数与试验总数的比值估计这个面出现的概率，则我们得到六面出现的概率，分别为{0.2,0.2,0.2,0.2,0.1,0.1}。现在，我们还不满足，我们想要做10000次试验，每次试验中我们都投掷骰子10000次。我们想知道，骰子六面出现概率为{0.2,0.2,0.2,0.2,0.1,0.1}的概率是多少（说不定下次试验统计得到的概率为{0.1, 0.1, 0.2, 0.2, 0.2, 0.2}这样了）。这样我们就在思考骰子六面出现概率分布这样的分布之上的分布。而这样一个分布就是Dirichlet分布。
下面正式进入狄利克雷分布介绍，首先说一下这个多项分布的参数$\mu$。在伯努利分布里，参数$\mu$就是抛硬币取某一面的概率，因为伯努利分布的状态空间只有{0,1}。但是在多项分布里，因为状态空间有K个取值，因此$\mu$变成了向量$\vec{\mu} = \{\mu_1, \mu_2, ... , \mu_k\}$。多项分布的likelihood函数形式是$\prod \mu_x^{m_i}$，因此就像选择伯努利分布的共轭先验贝塔函数时那样，狄利克雷分布的函数形式应该如下：

$$p(\mu|\alpha) \propto \prod_{k=1}^K \mu_k^{\alpha_{k-1}}$$
上式中，$\sum_k \mu_k = 1$，$\vec{\alpha} = (\alpha_1, ..., \alpha_k)$是迪利特雷参数，把上式归一化为真正的迪利特雷分布为：
$$Dir(\mu \mid \alpha) = \frac{\Gamma (\alpha_0)}{\Gamma(\alpha_1)...\Gamma(\alpha_k)}\prod_{k=1}^K\mu_k^{\alpha_k-1}$$
其中$\alpha_0 = \sum \limits _{k=1}^K \alpha_k$。这个函数和贝塔分布有点像，跟多项式分布也有点像。就像$\beta$分布那样，狄利克雷分布就是它所对应的后验多项分布的参数$\vec{\mu}$的分布，只不过$\mu$是一个向量。