多项分布

多项分布的概念

多项分布是最重要的离散型多维分布，假设A1,A2,...,An是某一试验下的完备事件群，即事件两两互斥，且其和为必然事件（即每次试验有且仅有一个事件Ai发生），分别以p1,p2,...,pn记为事件A1,A2,...,An发生的概率，pi>0，p1+p2+...+pn=1。现将试验独立重复N次，以Xi记为在N次试验中事件Ai出现的次数，X=(X1,X2,...,Xn)为n维随机向量，Xi>=0，X1+X2+...+Xn=N。则X的概率分布就叫做多项分布，记为M(N;p1,...,pn)。

多项分布的推导

对于N次独立重复试验，事件A1,A2,...,An发生的次数分别为k1,k2,...,kn，其中ki>=0，k1+k2+...+kn=N，也就是将N个数分成n组，由排列组合知识可知，总共有N!/(k1!k2!...kn!)种分法。再由乘法定理可知，p(X1=k1,X2=k2,...,Xn=kn) = [N!/( k1!k2!...kn!)]p1^k1p2^k2...pn^kn。

多项分布的性质

1.多项分布的期望向量为：EX=Np=[Np1,Np2,...,Npn]；

2.多项分布的协方差矩阵为

 

Reference

1.陈希孺, 《概率论与数理统计》