HDU 2065 "红色病毒"问题

最新推荐文章于 2020-03-08 18:32:47 发布

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本文针对一个计算机科学领域的经典问题——“红色病毒”进行了解析，介绍了如何通过组合数学原理及快速幂取模的方法来计算满足特定条件的字符串数量。

"红色病毒"问题

Time Limit: 1000/1000 MS (Java/Others) Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)
Total Submission(s): 3871 Accepted Submission(s): 1645

Problem Description

医学界发现的新病毒因其蔓延速度和Internet上传播的"红色病毒"不相上下,被称为"红色病毒",经研究发现,该病毒及其变种的DNA的一条单链中,胞嘧啶,腺嘧啶均是成对出现的。
现在有一长度为N的字符串,满足一下条件:
(1) 字符串仅由A,B,C,D四个字母组成;
(2) A出现偶数次(也可以不出现);
(3) C出现偶数次(也可以不出现);
计算满足条件的字符串个数.
当N=2时,所有满足条件的字符串有如下6个:BB,BD,DB,DD,AA,CC.
由于这个数据肯能非常庞大,你只要给出最后两位数字即可.

Input

每组输入的第一行是一个整数T,表示测试实例的个数,下面是T行数据,每行一个整数N(1<=N<2^64),当T=0时结束.

Output

对于每个测试实例,输出字符串个数的最后两位,每组输出后跟一个空行.

Sample Input

Sample Output

  
   Case 1: 2
Case 2: 72
Case 3: 32
Case 4: 0

Case 1: 56
Case 2: 72
Case 3: 56

Author

Rabbit

Source

RPG专场练习赛

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#include<iostream>
#include<string.h>
#include<stdio.h>
using namespace std;
const int mod = 100;
__int64 exp_mod(int a, __int64 n)
{
    __int64 t;
    if(n == 0) return 1%mod;
    if(n == 1) return a%mod;
    t = exp_mod(a,n/2);
    t = t*t%mod;
    if((n&1) == 1) t = t*a%mod;
    return t;
}

int main()
{
    int T, cas;
    __int64 n;
    while(scanf("%d",&T)&&T)
    {
        cas = 0;
        while(T--)
        {
            scanf("%I64d",&n);
            printf("Case %d: %I64d\n",++cas,(exp_mod(4,n-1)+exp_mod(2,n-1))%mod);
        }
        cout<<endl;
    }
    return 0;
}

证明：从题目可以知道 A: (1 + x²/1! + x⁴/2! + ....); B: (1 + x/1! + x²/2! + x³/3! + ...); C:(1 + x²/1! + x⁴/2! + ....); D: (1 + x/1! + x²/2! + x³/3! + ...);

所以有： G(x) = (1 + x²/1! + x⁴/2! + ....)² * (1 + x/1! + x²/2! + x³/3! + ...)²;

由于泰勒展开式：

e^x = 1 + x/1! + x²/2! + x³/3! + ...

e^-x = 1 - x/1! + x²/2! - x³/3! + ...

所以

G(x) = e^2x + ((e^x + e^-x)/2)²;

= (1/4) * (e^2x + 1)²

= (1/4) * (e^4x + 2*e^2x + 1);

又因为：

e^4x = 1 + (4x)/1! + (4x)²/2! + (4x)³/3! + ... + (4x)ⁿ/n!;

e^2x = 1 + (2x)/1! + (2x)²/2! + (2x)³/3! + ... + (2x)ⁿ/n!;
所以：