42、非线性移位寄存器序列的线性滤波研究

非线性移位寄存器序列的线性滤波研究

1. 分布特性

设 $\sigma$ 是有限域 $F_q$ 上一个本原非线性反馈移位寄存器（NLFSR）的非零输出序列，$f$ 是 $F_q$ 上的非零多项式。当滤波器多项式的次数不是太大时，除了零元素可能有轻微偏差外，$F_q$ 中的元素在序列 $\tau = f(T)\sigma$ 中是均匀分布的。而且，在 $\tau$ 的一个完整周期内，$F_q$ 中元素组成的所有可能长度的字符串（长度取决于所应用的滤波器多项式 $f$ 的次数）出现的频率几乎相等。

若 $f(x) = x^e g(x)$，其中 $e \geq 0$ 且 $g \in F_q[x]$ 满足 $g(0) \neq 0$，那么序列 $f(T)\sigma$ 是序列 $g(T)\sigma$ 的一个移位版本。因此，不妨将注意力限制在不能被 $x$ 整除的滤波器多项式 $f$ 上。

定理 2

设 $\sigma = (s_i) {i = 0}^{\infty}$ 是 $F_q$ 上一个 $n$ 级本原 NLFSR 的非零输出序列。设 $f \in F_q[x]$ 满足 $f(0) \neq 0$ 且 $0 \leq \text{deg}(f) = k \leq n - 1$。令 $\tau = (t_i) {i = 0}^{\infty} = f(T)\sigma$。对于 $1 \leq m \leq n - k$ 和 $b = (b_1, \ldots, b_m) \in F_q^m$，设 $N(b)$ 是集合 ${0, 1, \ldots, r - 1}$ 中使得 $(t_i, t_{i + 1}, \ldots, t_{i +