19、多项式插值次数与SHA - 1差分模式研究

多项式插值次数与SHA - 1差分模式研究

在密码学领域，多项式插值的次数分析以及哈希函数的安全性研究一直是重要的课题。本文将探讨多项式插值次数的相关定理，以及SHA - 1哈希函数差分模式的寻找方法。

多项式插值次数相关定理

设 (p) 为素数，(q) 为 (p) 的幂，(E) 是由Weierstrass方程 (Y^2 + a_1XY + a_3Y = X^3 + a_2X^2 + a_4X + a_6) 定义在 (\mathbb{F}_q) 上的椭圆曲线。存在点 (B \in E(\mathbb{F}_q))，其阶为奇数 (l)，且 (l) 与 (p) 互素。假设 (\mathbb{F}_q^*) 包含单位元的 (l) 次本原根 (\zeta)，则可通过Weil配对或Tate配对得到群同构 (\langle B \rangle \to \langle \zeta \rangle)，将 (B) 映射到 (\zeta)。我们关注逆同构 (t : \langle \zeta \rangle \to \langle B \rangle) 的多项式插值问题，目标是给出满足 (f(z) = \xi \circ t(z)) 的多项式 (f) 的次数下界。

• 定理3 ：设 (S) 是 (\mathbb{Z}/l\mathbb{Z}-{0}) 的一个子集，其基数大于2。若 (f(T) \in \mathbb{F}_q[T]) 满足 (f(\zeta^n) = \xi(nB)) 和 (f(\zeta^{2n}) = \xi(2nB)) 对所有 (n \in S) 成立，则
  [
  \deg f \geq
  \beg