线性代数与矩阵运算证明示例

1、证明((c1 + c2) · V) = (c1 · V) + (c2 · V)，其中c1、c2为常数，V为向量

对于向量 $ V $ 的第 $ j $ 个分量：

$$
((c_1 + c_2) \cdot V)[j] = (c_1 + c_2) \times (V[j]) = (c_1 \times V[j]) + (c_2 \times V[j]) = (c_1 \cdot V)[j] + (c_2 \cdot V)[j] = ((c_1 \cdot V) + (c_2 \cdot V))[j]
$$

由于向量的每一个分量都满足此等式，所以：

$$
(c_1 + c_2) \cdot V = c_1 \cdot V + c_2 \cdot V
$$

2、求矩阵A = [[1 + 2i, 3], [4i, 5 - 6i]]及其共轭矩阵

对于复数矩阵 $ A $，其共轭矩阵 $ A^* $ 是将矩阵 $ A $ 中每个元素取共轭复数后得到的矩阵。

已知矩阵
$$
A = \begin{bmatrix} 1 + 2i & 3 \ 4i & 5 - 6i \end{bmatrix}
$$
则其共轭矩阵
$$
A^* = \begin{bmatrix} 1 - 2i & 3 \ -4i & 5 + 6i \end{bmatrix}
$$

3、证明某矩阵集合在加法和标量乘法下封闭

要证明某矩阵集合在加法和标量乘法下封闭，需分别证明：

1. 对于集合中任意两个矩阵 $ A $ 和 $ B $，它们的和 $ A + B $ 仍属于该集合；
2. 对于集合中任意矩阵 $ A $ 和任意标量 $ k $，$ k $ 与 $ A $ 的乘积 $ kA $ 仍属于该集合。

4、计算2 · [1, 2, 3]ᵀ + [1, -4, -4]ᵀ

[3, 0, 2]ᵀ

5、计算√439

√439是一个无理数，其近似值约为20.952

6、计算√47

√47是一个无理数，其近似值为6.86（保留两位小数）

7、计算√11

√11是一个无理数，其近似值为3.317（保留三位小数）

8、证明某矩阵性质（类似厄米特情况，用转置代替 dagger 运算），已知在厄米特矩阵性质证明中使用了 dagger 运算，现需证明在使用转置运算时该矩阵具有类似性质

该证明与厄米特情况相同，但需将 dagger 运算替换为转置运算。

9、证明距离性质d(UV1, UV2) = d(V1, V2)，其中U为常数，V1、V2为变量，d(x, y)表示x与y之间的距离，这里定义为d(x, y)=|x - y|

d(UV₁, UV₂) = |UV₁ - UV₂| = |U(V₁ - V₂)|

因为 U 为常数，当 U = 1 时，|U(V₁ - V₂)| = |V₁ - V₂|。

又因为 d(V₁, V₂) = |V₁ - V₂|，所以 d(UV₁, UV₂) = d(V₁, V₂)

10、求向量[−3, 6, −4, 8, −7, 14]的转置

给定的数组 [-3, 6, -4, 8, -7, 14] 的转置为列向量：

$$
\begin{bmatrix}
-3 \
6 \
-4 \
8 \
-7 \
14
\end{bmatrix}
$$

11、判断是否存在满足条件za = 0，zb = 1，xa = 5的z、y、a、b、x值

不存在。因为若 $ za = 0 $，则意味着要么 $ z = 0 $，要么 $ a = 0 $。若 $ z = 0 $，则无法满足 $ zb = 1 $；若 $ a = 0 $，则无法满足 $ xa = 5 $，所以不存在这样的值。

12、求矩阵 ⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣2 6 4 8 3 9 6 12⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ 的秩、判断是否存在行列式和逆矩阵

对矩阵进行初等行变换，该矩阵秩为 2；此矩阵不是方阵，不存在行列式；非方阵也不存在逆矩阵。

13、求向量[0, 0, 20, 2, 0, 5]的转置

向量 [0, 0, 20, 2, 0, 5] 通常表示为行向量，其转置为列向量，即

⎡0⎤
⎢0⎥
⎢20⎥
⎢2 ⎥
⎢0 ⎥
⎣5 ⎦

14、已知矩阵M，计算矩阵M的幂（M²、M³、M⁶）并分析结果

矩阵M的幂计算结果如下：

M² =
$$
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \
0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \
\end{bmatrix}
$$

M³ =
$$
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \
1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \
0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \
\end{bmatrix}
$$

M⁶ =
$$
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \
1 & 0 & 0 & 0 & 1 &