卢卡斯定理

最新推荐文章于 2024-08-01 16:31:59 发布

单木

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分类专栏：数学

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本文介绍Lucas定理及其在计算组合数C(n,m) mod p的应用，通过递归分解问题规模，利用预处理阶乘及逆元的方法高效解决大组合数的模运算问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Lucas定理：我们令n=sp+q , m=tp+r .（q ，r ≤p）,p为素数

那么：

int Lucas (ll n , ll m , int p) {
        return m == 0 ? 1 : 1ll*comb (n%p , m%p , p) * Lucas (n/p , m/p , p) %  p ;
}
//comb()函数中，因为q ， r < p , 所以这部分暴力完成即可。
 
//  C++
// 求C(n, m) mod 10007    版本二 要求p z在100000左右
LL f[N];  //N为组合数的底数 的范围
void init(int p){
	f[0] = 1;
	for(int i = 1; i <= p; ++i)
		f[i]  = f[i-1] * i % p;
}
LL pow_mod(LL a, LL x, int p){
	LL ret = 1;
	a %= p;
	while(x){
		if(x & 1){
			ret = ret * a % p;
			--x;
		}
		else{
			a = a * a % p;
		   	x >>= 1;	
		}
	}
	return ret;
}
LL Lucas(LL n, LL k, int p){
	LL ret = 1;
	while(n && k){
		LL nn = n % p, kk = k % p;
		if(nn < kk) return 0;
		ret = ret * f[nn] * pow_mod(f[kk] * f[nn - kk] % p, p - 2, p) % p;
		n /= p;
		k /= p;
	}
	return ret;
}

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