【数据结构】ST表-RMQ问题

原创已于 2022-07-12 21:50:24 修改 · 484 阅读

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#算法 #数据结构 #c++

于 2022-07-12 21:45:58 首次发布

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本文详细介绍了Range Maximum Query (RMQ)问题，包括其在查询区间最大值或最小值的应用，对比线段树的O(nlogn)复杂度，重点讲解了使用倍增思想的预处理和查询过程，以及如何扩展到二维场景处理矩阵中的最大值。涵盖了UVA 1618、洛谷P2216和P1816等经典题目的解决方案。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

RMQ(Range Maximum(Minimum) Query)问题，查询区间最大值或最小值，相比线段树，为静态查询，复杂度 $O(n\log n)$

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作用

查询区间最大值或最小值

复杂度

$O(n\log n)$ 预处理， $O (1)$ 查询

算法：倍增思想

以最大值为例，最小值取min同理

预处理

Max[i][j]表示从 $i$ 位置开始的 $2^j$ 个数中的最大值（最小值同理），即表示区间 $i , i+2^j )$ 的最大值
将 $i , i+2^j )$ 区间拆成 $i,i+2^{j-1} )$ 和 $i+2^{j-1},i+2^j )$ 两个区间，则大区间的最大值是小区间最大值的最大值
更新方程：Max[i][j]=max(Max[i][j-1] , Max[i+2^{j-1}][j-1])

查询

查询 $[l, r]$ 区间最大值：取区间长度的对数 $k=\log_{2} (r-l+1)$ ，查询结果为max(Max[l][k], Max[r-2^k+1][k])
上述第二项 $r-2^k+1$ 的由来：尝试找右短点为 $r$ 的区间。设左端点为 $x$ ，则 $x+2^k =r+1$ （左闭右开区间），解得左端点 $x=r-2^k+1$

模板

void init()            // 初始化，st[i][0]中记录了数组的初始值
{
    for(int j=1;j<20;j++)    // 区间长度不超过(1<<19)(524288，够用了)
        for(int i=1;i+(1<<j)-1<=n;i++)
            st[i][j]=max(st[i][j-1],st[i+(1<<(j-1))][j-1]); // 更新最大值
}
int RMQ(int l,int r)   // 查询区间[l,r]的最大值
{
    int k=log2(r-l+1); // 求左端点（算法中细说了）
    return max(st[l][k],st[r-(1<<k)+1][k]);    // 得到最大值
}
int main()             // 普通RMQ问题主函数 
{
    read(n),read(m);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        read(st[i][0]);    // 原始值写入st[i][0]
    init();                // 初始化
    int l,r;
    for(int i=0;i<m;i++)
    {
        read(l),read(r);   // 查询
        printf("%d\n",RMQ(l,r));
    }
    return 0;
}

二维RMQ问题

目标

查询 $a\times b$ 矩阵中 $n\times n$ 大小的矩阵中的最大值

修改一维ST表

Max[i][j][k] 表示 $(i, j)$ 为左上角，边长为 $2^k$ 的正方形矩阵中的最大值
递推：Max[i][j][k]=max(Max[i][j][k-1], Max[i][j+2^{k-1}][k-1], Max[i+2^{k-1}][j][k-1], Max[i+2^{k-1}][j+2^{k-1}][k-1])，即将大正方形拆成上下左右四个小正方形
查询： $(x, y)$ 为左上角， $n$ 为边长， $k=\log_{2} n$ ，结果为max(Max[x][y][k], Max[x][y+n-2^k+1][k], Max[x+n-2^k+1][y][k], Max[x+n-2^k+1][y+n-2^k+1][k]，区间端点的推到与一维类似

void init()
{
    for(int k=1;k<=(int)log2(min(a,b))+1;k++)
        for(int i=1;i+(1<<k)-1<=a;i++)
            for(int j=1;j+(1<<k)-1<=b;j++)
            {
                stmax[i][j][k]=max(stmax[i][j][k-1], max(stmax[i][j+(1<<(k-1))][k-1],
                        max(stmax[i+(1<<(k-1))][j][k-1], stmax[i+(1<<(k-1))][j+(1<<(k-1))][k-1])));
                stmin[i][j][k]=min(stmin[i][j][k-1], min(stmin[i][j+(1<<(k-1))][k-1],
                        min(stmin[i+(1<<(k-1))][j][k-1], stmin[i+(1<<(k-1))][j+(1<<(k-1))][k-1])));
            }
}
int RMQ(int x,int y)
{
    int k=log2(n+1);
    int maxn=max(stmax[x][y][k],max(stmax[x][y+n-(1<<k)][k],
                 max(stmax[x+n-(1<<k)][y][k],stmax[x+n-(1<<k)][y+n-(1<<k)][k])));
    int minn=min(stmin[x][y][k],min(stmin[x][y+n-(1<<k)][k],
                 min(stmin[x+n-(1<<k)][y][k],stmin[x+n-(1<<k)][y+n-(1<<k)][k])));
    return maxn-minn;
}
int main()
{
    read(a),read(b),read(n);
    for(int i=1;i<=a;i++)
        for(int j=1;j<=b;j++)
        {
            read(stmax[i][j][0]);
            stmin[i][j][0]=stmax[i][j][0];
        }
    init();
    int ans=inf;
    for(int i=1;i<=a-n+1;i++)
        for(int j=1;j<=b-n+1;j++)
            ans=min(ans,RMQ(i,j));
    printf("%d",ans);
    return 0;
}