【数论】整除、最小公倍数和最大公约数与扩展欧几里得算法

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本文介绍了整除的基本概念和性质，包括偶数、奇数、模运算以及最大公约数和最小公倍数。重点讲解了欧几里得算法（辗转相除法）用于计算最大公约数，并给出了扩展欧几里得算法的实现，该算法不仅求得最大公约数，还能找到满足线性同余方程的解。内容适合对算法和数学基础感兴趣的读者。

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整除

基本概念与性质

偶数、奇数
$:a=qb+r,0≤r<∣b∣≠0\mod: a=qb+r,0\leq r<|b|\neq 0$ ，记作 $br=a\mod b$
$a∣b,a∣c⇒∀x,y,a∣bx+cya|b,a|c\Rightarrow \forall x,y,a|bx+cy$ ， $a$ 称公因子，最大的记作 $gcd⁡(a,b)\gcd(a,b)$ （对应有最小公倍数 $l c m (a, b)$ ）。
$a∣b,b∣c⇒a∣ca|b,b|c\Rightarrow a|c$
$m≠0,a∣b⇔ma∣mbm\neq 0,a|b\Leftrightarrow ma|mb$
$a∣b,b∣a⇒a=±ba|b,b|a\Rightarrow a=\pm b$
$a∣b,b≠0⇒∣a∣≤∣b∣a|b,b\neq 0\Rightarrow |a|\leq |b|$
$a∣m,b∣m⇒lcm(a,b)∣m;d∣a,d∣b⇒d∣gcd⁡(a,b)a|m,b|m\Rightarrow lcm(a,b)|m;d|a,d|b\Rightarrow d|\gcd(a,b)$
$ab=gcd⁡(a,b)×lcm(a,b)ab=\gcd(a,b)\times \text{lcm}(a,b)$
$m,a,b∈N+,lcm(ma,mb)=m×gcd⁡(a,b)m,a,b\in N^+,\text{lcm}(ma,mb)=m\times \gcd(a,b)$

辗转相除法（欧几里得算法）

$a=qb+r,0≤r<∣b∣≠0,gcd⁡(a,b)=gcd⁡(b,r)a=qb+r,0\leq r<|b|\neq 0,\gcd(a,b)=\gcd(b,r)$

ll gcd(ll a, ll b) { return b == 0 ? a : gcd(b, a % b); }

扩展欧几里得：

$gcd⁡(a,b)=xa+yb\gcd(a,b)=xa+yb$ ，求解 $x, y$ 。

推论： $gcd⁡(a,b)=1⇔a,b互素⇔存在xa+by=1\gcd(a,b)=1\Leftrightarrow a,b互素\Leftrightarrow 存在xa+by=1$

算法计算次数：拉梅定理（咕咕咕）

// 扩展欧几里得：ax+by=gcd(a,b)=d
void exgcd(ll a, ll b, ll &d, ll &x, ll &y)
{
	if (!b)
	{
		x = 1, y = 0, d = a;
		return;
	}
	exgcd(b, a % b, d, y, x);
	y -= a / b * x;
}