【数论】整除、最小公倍数和最大公约数与扩展欧几里得算法

本文介绍了整除的基本概念和性质,包括偶数、奇数、模运算以及最大公约数和最小公倍数。重点讲解了欧几里得算法(辗转相除法)用于计算最大公约数,并给出了扩展欧几里得算法的实现,该算法不仅求得最大公约数,还能找到满足线性同余方程的解。内容适合对算法和数学基础感兴趣的读者。

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整除

基本概念与性质

  • 偶数、奇数
  • mod  :a=qb+r,0≤r<∣b∣≠0\mod: a=qb+r,0\leq r<|b|\neq 0mod:a=qb+r,0r<b=0,记作r=amod  br=a\mod br=amodb
  • a∣b,a∣c⇒∀x,y,a∣bx+cya|b,a|c\Rightarrow \forall x,y,a|bx+cyab,acx,y,abx+cyaaa 称公因子,最大的记作gcd⁡(a,b)\gcd(a,b)gcd(a,b)(对应有最小公倍数lcm(a,b)lcm(a,b)lcm(a,b))。
  • a∣b,b∣c⇒a∣ca|b,b|c\Rightarrow a|cab,bcac
  • m≠0,a∣b⇔ma∣mbm\neq 0,a|b\Leftrightarrow ma|mbm=0,abmamb
  • a∣b,b∣a⇒a=±ba|b,b|a\Rightarrow a=\pm bab,baa=±b
  • a∣b,b≠0⇒∣a∣≤∣b∣a|b,b\neq 0\Rightarrow |a|\leq |b|ab,b=0ab
  • a∣m,b∣m⇒lcm(a,b)∣m;d∣a,d∣b⇒d∣gcd⁡(a,b)a|m,b|m\Rightarrow lcm(a,b)|m;d|a,d|b\Rightarrow d|\gcd(a,b)am,bmlcm(a,b)m;da,dbdgcd(a,b)
  • ab=gcd⁡(a,b)×lcm(a,b)ab=\gcd(a,b)\times \text{lcm}(a,b)ab=gcd(a,b)×lcm(a,b)
  • m,a,b∈N+,lcm(ma,mb)=m×gcd⁡(a,b)m,a,b\in N^+,\text{lcm}(ma,mb)=m\times \gcd(a,b)m,a,bN+,lcm(ma,mb)=m×gcd(a,b)

辗转相除法(欧几里得算法)

a=qb+r,0≤r<∣b∣≠0,gcd⁡(a,b)=gcd⁡(b,r)a=qb+r,0\leq r<|b|\neq 0,\gcd(a,b)=\gcd(b,r)a=qb+r,0r<b=0,gcd(a,b)=gcd(b,r)

ll gcd(ll a, ll b) { return b == 0 ? a : gcd(b, a % b); }

扩展欧几里得

gcd⁡(a,b)=xa+yb\gcd(a,b)=xa+ybgcd(a,b)=xa+yb ,求解x,yx,yx,y

推论:gcd⁡(a,b)=1⇔a,b互素⇔存在xa+by=1\gcd(a,b)=1\Leftrightarrow a,b互素\Leftrightarrow 存在xa+by=1gcd(a,b)=1a,bxa+by=1

算法计算次数:拉梅定理(咕咕咕)

// 扩展欧几里得:ax+by=gcd(a,b)=d
void exgcd(ll a, ll b, ll &d, ll &x, ll &y)
{
	if (!b)
	{
		x = 1, y = 0, d = a;
		return;
	}
	exgcd(b, a % b, d, y, x);
	y -= a / b * x;
}
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