退役边缘人,近期整理下模板啦~
整除
基本概念与性质
- 偶数、奇数
- mod :a=qb+r,0≤r<∣b∣≠0\mod: a=qb+r,0\leq r<|b|\neq 0mod:a=qb+r,0≤r<∣b∣=0,记作r=amod br=a\mod br=amodb
- a∣b,a∣c⇒∀x,y,a∣bx+cya|b,a|c\Rightarrow \forall x,y,a|bx+cya∣b,a∣c⇒∀x,y,a∣bx+cy ,aaa 称公因子,最大的记作gcd(a,b)\gcd(a,b)gcd(a,b)(对应有最小公倍数lcm(a,b)lcm(a,b)lcm(a,b))。
- a∣b,b∣c⇒a∣ca|b,b|c\Rightarrow a|ca∣b,b∣c⇒a∣c
- m≠0,a∣b⇔ma∣mbm\neq 0,a|b\Leftrightarrow ma|mbm=0,a∣b⇔ma∣mb
- a∣b,b∣a⇒a=±ba|b,b|a\Rightarrow a=\pm ba∣b,b∣a⇒a=±b
- a∣b,b≠0⇒∣a∣≤∣b∣a|b,b\neq 0\Rightarrow |a|\leq |b|a∣b,b=0⇒∣a∣≤∣b∣
- a∣m,b∣m⇒lcm(a,b)∣m;d∣a,d∣b⇒d∣gcd(a,b)a|m,b|m\Rightarrow lcm(a,b)|m;d|a,d|b\Rightarrow d|\gcd(a,b)a∣m,b∣m⇒lcm(a,b)∣m;d∣a,d∣b⇒d∣gcd(a,b)
- ab=gcd(a,b)×lcm(a,b)ab=\gcd(a,b)\times \text{lcm}(a,b)ab=gcd(a,b)×lcm(a,b)
- m,a,b∈N+,lcm(ma,mb)=m×gcd(a,b)m,a,b\in N^+,\text{lcm}(ma,mb)=m\times \gcd(a,b)m,a,b∈N+,lcm(ma,mb)=m×gcd(a,b)
辗转相除法(欧几里得算法)
a=qb+r,0≤r<∣b∣≠0,gcd(a,b)=gcd(b,r)a=qb+r,0\leq r<|b|\neq 0,\gcd(a,b)=\gcd(b,r)a=qb+r,0≤r<∣b∣=0,gcd(a,b)=gcd(b,r)
ll gcd(ll a, ll b) { return b == 0 ? a : gcd(b, a % b); }
扩展欧几里得:
gcd(a,b)=xa+yb\gcd(a,b)=xa+ybgcd(a,b)=xa+yb ,求解x,yx,yx,y 。
推论:gcd(a,b)=1⇔a,b互素⇔存在xa+by=1\gcd(a,b)=1\Leftrightarrow a,b互素\Leftrightarrow 存在xa+by=1gcd(a,b)=1⇔a,b互素⇔存在xa+by=1
算法计算次数:拉梅定理(咕咕咕)
// 扩展欧几里得:ax+by=gcd(a,b)=d
void exgcd(ll a, ll b, ll &d, ll &x, ll &y)
{
if (!b)
{
x = 1, y = 0, d = a;
return;
}
exgcd(b, a % b, d, y, x);
y -= a / b * x;
}