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狄利克雷卷积、莫比乌斯反演

组合数学1.1 加法原理、乘法原理在组合数学中，加法原理和乘法原理是两条基本定理。加法原理 如果解的集合可以划分成若干非空子集，则解可以表示为这些子集的并集。通俗来讲，就是一个问题的答案可以分成若干互不重叠的类，求出来每一类的答案，它们的和即为原问题的答案。例1:某班有20名男生，30名女生，问该班有多少学生？​ 答案为：20+30=50例2：从重庆去武汉有许多交通工具可以选择。如果坐飞机，有25个航班；如果坐火车，有16个车次；如果坐轮船，有4个航班。如果只允许坐飞机、火车和轮船之一，从重庆到

分块分块是指把序列分成若干个块，使得对序列的各种操作的时间复杂度达到均衡，都不至于太高。一般情况下，都是把序列分成n\sqrt{n}n​块，每块的大小大致为n\sqrt{n}n​。n表示序列中元素的个数。分块是一种思想，理解起来很简单，用代码实现也不难，在很多数据结构的题目中都能用上。例1：给一个长度为nnn的数组，现在有两种操作：操作1：区间修改(0,l,r,c)(0,l,r,c)(0,l,r,c) 表示将区间[l,r][l,r][l,r]整体加上一个数值ccc。操作2：单点查询$(1,l,r

卡特兰数列1.卡特兰数列​ 它是组合数学中一个常出现在各种计数问题中出现的数列，其前几项为 : 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, …2. 问题的引入例1 二叉树的计数有一颗二叉树，一共有n个节点，问它有多少种可能？分析设f(n)f(n)f(n)表示答案。分三种情况讨论：只有左子树、只有右子树、左右子树均有。只有左子树：左子树中有n−1n-1n−1个节点，方案数为f(n−1)f(n-1)f(n−1)

斐波那契数列的一些性质一、斐波那契数列又称兔子数列。一开始有一对初生兔子。每队初生兔子到第三个月又可以繁殖一对兔子。问第n个月有多少对兔子？设f(n)f(n)f(n)表示第nnn个月的兔子数量。显然有：f(1)=1,f(2)=1,f(3)=2,f(4)=3,f(5)=5,f(6)=8,…,f(1)=1,f(2)=1,f(3)=2,f(4)=3,f(5)=5,f(6)=8,\dots,f(1)=1,f(2)=1,f(3)=2,f(4)=3,f(5)=5,f(6)=8,…,观察规律，可以发现f(n)=

整除、同余设aaa,bbb为整数,a≠0a\neq 0a​=0 如果存在一个整数q，使得a×q=ba\times q=ba×q=b,则bbb能被aaa整除，记为a∣ba\mid ba∣b，且称bbb是aaa的倍数，aaa是bbb的因子。整除的几个性质：传递性：如果a∣ba|ba∣b且b∣cb|cb∣c，则a∣ca|ca∣ca|b且a|c等价于对于任意的整数x，y，有a|(bx+cy)设m不为0，则a|b等价于ma|mb设整数x,y满足下式：ax+by=1，且a|n，b|n，那么(ab)|n

Rabin-Miller算法

信息竞赛中的数论整除、同余最大公约数与最小公倍数裴蜀定理秦九韶定理质数及其筛法欧拉函数欧拉定理、威尔逊定理逆元扩展欧几里得中国剩余定理高斯消元大步小步定理pollard_rho朗格朗日插值整除、同余设aaa,bbb为整数,a≠0a\neq 0a​=0 如果存在一个整数q，使得a×q=ba\times q=ba×q=b,则bbb能被aaa整除，记为a∣ba\mid ba∣b，且称bbb是aaa的倍数，aaa是bbb的因子。整除的几个性质：传递性：如果a∣ba|ba∣b且b∣cb|cb∣c，则a∣c

威尔逊定理、费马定理、欧拉函数、欧拉定理、逆元、exgcd威尔逊定理：(p−1)!≡−1(modp)(p-1)! \equiv -1 \pmod p(p−1)!≡−1(modp)，当且仅当ppp为质数。其中： (p−1)!(p-1)!(p−1)!表示p−1p-1p−1的阶乘,即1∗2∗3∗⋯∗(p−1)1*2*3*\dots*(p-1)1∗2∗3∗⋯∗(p−1)。证明：先证充分性： 即“ppp为质数”→\rightarrow→ (p−1)!≡−1(modp)(p-1)! \equiv -1 \pmo

中国剩余定理类似于这样的问题：有一个数，模5余2，模7余3，模13余8，……，求这个数是多少？实质上就是求一个模线性方程组。{x≡a1(modr1)x≡a2(modr2)x≡a3(modr3)…x≡ak(modrk)\begin{cases} x \equiv a_1 \pmod {r_1} \\ x\equiv a_2 \pmod {r_2} \\ x\equiv a_3 \pmod{r_3} \\ \dots \\ x \equiv a_k \pmod{r_k} \end{cases}⎩⎪⎪⎪⎪⎪

大步小步算法 BSGS(baby steps giant steps)BSGS是用来解决离散对数问题的，即ax≡b(modp)a^x \equiv b \pmod pax≡b(modp)。其中，a,b,p已知，且a和p互质，求x。根据欧拉定理，我们知道aϕ(p)≡1(modp)a^{\phi(p)} \equiv 1 \pmod paϕ(p)≡1(modp),而ϕ(p)<p\phi(p)<pϕ(p)<p,所以，采用枚举法，我们可以在O(p)O(p)O(p)时间复杂度求出x。BSGS可以