概率论第一部分_实验中e的集合是什么-优快云博客

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一、概率论的基本概念

随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间S，样本空间中的元素称为样本点。

S的一个子集称为E的随机事件。

单个样本点称为基本事件。

必然事件、不可能事件

和事件、积事件、差事件、逆事件（对立事件）

频率：某n次实验中，事件A发生的次数与n的比值

概率：E是随机试验，S是样本空间，对于E的每一个事件，赋予一个实数，记为P(A), 如果集合函数 $P (.)$ 满足下列条件：

1、非负性 $\geq 0$

2、规范性对于必然事件， $P (S) = 1$

3、可列可加性： $P(A_1 \cup A_2 \cup \dots )=P(A_1)+P(A_2)+\dots$ ，当 $A_i,A_j$ 为互斥事件时。

则称 $P (A)$ 为事件A的概率。

等可能概型（古典概型）

放回抽样、不放回抽样

超几何分布

有 $N$ 件产品，其中有 $D$ 件次品，从中任取 $n$ 件，问其中恰好有 $k(k\leq D)$ 件次品的概率是多少？

$p=\frac{\binom{D}{k}\binom{N-D}{n-k}}{\binom{N}{n}}$

$p$ 的式子称为超几何分布的概率公式

例：15名学生随机的平均分配到三个班，其中有三名优生，（1）每个班各分到一名优生的概率是多少？（2）3名优生分配到同一个班的概率是多少？

错误思路：

第一问：

假设编号为1班、2班、3班，假设1班先选。因为是随机选人，所以谁先谁后都不要紧，最后的概率都相等。

1班选中1名优生和4名非优生的概率为：

$p=\frac{\binom{3}{1}\binom{12}{4}}{\binom{15}{5}}$

算出来是 $45/91$ .

而正确答案为 $25/91$ .

错误在于，这里求得的答案和题目要求的答案不是一回事。我们只保证了1班选中1名优生，此时2班和3班有没有选中合适的人，我们根本没有考虑。而题目要求的是3个班都选中一名优生。我们求得的结果一定是大于最终正确的答案的。

第二种错误思路：

$P=\frac{3} {15} \times \frac{2}{14} \times \frac{1}{13}=\frac{1}{5} \times \frac{1}{7} \times \frac{1}{13}$

错误在于，这里算的是每个班选一次就都选中一名优生的概率。而实际上每个班可以选5次，只要5次当中刚好有一次选中了优生即可。

正确的做法为：

$p=\frac{\binom{3}{1}\binom{2}{1} \binom{12}{4}\binom{8}{4}}{\binom{15}{5}\binom{10}{5}}=\frac{25}{91}$

第二问: 求出1班分到3个优生的概率，另两个班不用管，一定符合要求。最后要乘以3，因为3个班都有机会。

$p=\frac{\binom{3}{1}\binom{12}{2}}{\binom{15}{5}}=\frac{6}{91}$

条件概率：在事件 $A$ 发生的条件下，求事件 $B$ 发生的概率。或者在某些事件发生的条件下，求另外的事件发生的概率。

$P (B ∣ A)$ :这表示在事件 $A$ 发生的条件下，事件 $B$ 发生的条件概率。

$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}$

全概率公式：

当条件构成一个全集时，此时某一事件与每个条件的积事件的概率之和即等于该事件单独发生的概率。

$P(B)=\sum_{i}P(B|A_i)P(A_i)=\sum_iP(BA_i)$

其中 $A_i$ 的和为1.

贝叶斯公式

$P(A|B)=\frac{P(B|A)P(A)}{\sum_{i}P(B|A_i)P(A_i)}$

独立事件

事件 $A$ 、 $B$ 不相关，则称事件 $A, B$ 为独立事件。

此时， $P (A B) = P (A) P (B)$

即 $P (A ∣ B) = P (A)$

习题1：

1. 写出下列随机试验的样本空间

(1) 记录一个班一次数学考试的平均分，100分制

(2) 生产产品直到有 $10$ 件正品为止，记录生产产品的总件数

(3) 对某工厂出厂的产品进行检查，合格即为“正品”，不合格的记为“次品”，如果连续查出了两件次品就停止，或检查了四件产品就停止检查，记录检查的结果。

(4) 在单位圆内任意取一点，记录它的坐标。
2. 设 $A, B, C$ 为三个事件，用 $A, B, C$ 的运算关系表示下列各事件：

(1) $A$ 发生， $B, C$ 不发生

(2) $A$ 与 $B$ 都发生，而 $C$ 不发生

(3) $A, B, C$ 中至少有1个发生

(4) $A, B, C$ 都发生

(5) $A, B, C$ 都不发生

(6) $A, B, C$ 中不多于一个发生

(7) $A, B, C$ 中不多于两个发生

(8) $A, B, C$ 至少有两个发生

3. (1) 设 $A, B, C$ 是三个事件，且 $P (A) = P (B) = P (C) = 1/4$ , $P (A B) = P (BC) = 0$ , $P (A C) = 1/8$ ,求 $A, B, C$ 至少有一个发生的概率.

(2) 已知 $P (A) = 1/2, P (B) = 1/3, P (C) = 1/5, P (A B) = 1/10, P (A C) = 1/15, P (BC) = 1/20, P (A BC) = 1/30$ ,求 $A\cup B$ , $\overline A \cap \overline B, A \cup B \cup C, \overline A \cap \overline B \cap \overline C,\overline A \cap \overline B \cap C, \overline A \cap \overline B \cup C$ .