Catalan数列的几个模型

卡特兰数列

1.卡特兰数列

​ 它是组合数学中一个常出现在各种计数问题中出现的数列，其前几项为 : 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, …

2. 问题的引入

例1 二叉树的计数

有一颗二叉树，一共有n个节点，问它有多少种可能？

分析

设$f(n)$表示答案。分三种情况讨论：只有左子树、只有右子树、左右子树均有。

只有左子树：左子树中有$n-1$个节点，方案数为$f(n-1)$

只有右子树: 右子树中有$n-1$个节点，方案数为$f(n-1)$

左右子树均有：设左子树中有$x$个节点，则右子树中有$n-x-1$个节点，方案数为：${\sum }_{x=1}^{n-2}f(x)\ast f(n-x-1)$

则总的方案数为$f(n)={\sum }_{x=1}^{n-2}f(x)\ast f(n-x-1)+f(n-1)+f(n-1)={\sum }_{x=0}^{n-1}f(x)\ast f(n-x-1)$

$f(0) = 1, f(1) = 1, f(2) = 2, f(3) = 5,f(4) = 14, \dots $

这就是Catalan数列。

3.其他Catalan模型

例2 凸多边形的三角形剖分

给一个n条边的凸多边形，现在把它剖分成若干个三角形。每个三角形的三个顶点必须是凸多边形的顶点。

问有多少种剖分方案。

设$f(n)$表示凸多边形的三角形剖分方案，显然$f(3)=1,f(4)=2$

先给凸多边形的顶点按照顺时针编号为$1,2,3,\dots ,n$.

如果用直线来划分，则方案中可能有重复。我们可以用三角形来划分。

取底边为$(1,n)$作为该三角形的底边，三角形的另一个顶点为$i$。则三角形$△(1,n,i)$把凸多边形分成了左右两个部分，左边的顶点为$(1,2,\dots ,i)$,右边的顶点为$(i,i+1,i+2,\dots ,n)$.

左边的凸多边形为$i$边形，右边的凸多边形为$n-i+1$边形。则方案数为$f(n)={\sum }_{i=2}^{n-1}f(i)\ast f(n-i+1)$.

因为$i$可取到2，设$f(2)=1$,$f(3)=1,f(4)=2$,这也是一个Catalan数列，只是它是从第二项开始的。

如果我们把$f(2)$看做是第0项，则$f(0)=1,f(1)=1,f(1)=2,f(n)={\sum }_{i=0}^{n-1}f(i)\ast f(n-i-1)$

则完全是一个标准的Catalan数列了。

例3 出栈问题

有一个栈，n个元素排队进栈，按照进栈的顺序，给他们编号为$1,2,\dots ,n$,问它们有多少种出栈顺序？

分析

设$f(n)$表示出栈的所有方案。

枚举最后一个出栈的元素,设其编号为$i$,则编号比$i$小的元素，它们比$i$先进栈，比$i$先出栈，则它们为一个$f(i-1)$的子问题。

而编号大于$i$的元素，它们比$i$后进栈，比$i$先出栈，它们也是一个$f(n-i)$的子问题。

所以$f(n)={\sum }_{i=1}^{n}f(i-1)\ast f(n-i)={\sum }_{i=0}^{n-1}f(i)\ast f(n-i-1)$

例4 排队问题

有$2\ast n$个人排队购票，票价为50元，每人买一张。有n个人只有100元，有n个人只有50元。而售票员没有准备任何零钱。所有人除了买票之外，不能借钱，赊账等，只能现金交易。问有多少种排队的方式，可以使得买票顺利进行。

分析

问题等价于求有多少种排队方案，满足任意前缀中50元的人数不少于100元的人数。

将50元看做进栈操作，将100元看做出栈操作。则$2\ast n$个人的一种满足条件的排队方案对应$n$个元素的一个合法的进栈、出栈序列。设出栈的元素按先后顺序编号为$1,2,3,\dots ,n$,则一个进栈、出栈的操作序列对应唯一的一个出栈顺序。

则问题转换为例3,求$n$个元素加的出队方案。

所以有：

$f(n)={\sum }_{i=1}^{n}f(i-1)\ast f(n-i)={\sum }_{i=0}^{n-1}f(i)\ast f(n-i-1)$

另一种思路：

设第一次出现100元的人数超过了50元的人数，这个位置为i，则这是一种非法的方案。

将前i个位置的人，全部取反，100元变为50元，50元变为100元，则100元的人数将变为$n-1$个人，而50元的人数将变为$n+1$个人。

你会发现，任一一种非法的方案，都可以这样转换。

更巧妙的是，$n+1$个50元和$n-1$个100元的队形，都可以逆转换为一种非法的方案。逆转换的方案是：找到第一次50元超过100元的位置i，将前i个位置全部取反。

所以，非法方案的总数和$n+1$个50元与$n-1$个100元的方案是一一对应的。

所以，合法的方案总数$ans=C(2\ast n,n)-C(2\ast n,n-1)$

例5 路径问题

有一个$n\ast n$的棋盘，从左下角做到右上角，且行动轨迹必须在棋盘的下三角中，即不能跨过对角线，问有多少种走法？

分析

模型转换$\to$“进栈序列”。

从左上角走到右上角一共需要走$2\ast n$步。

将向右走看做入栈，将向上走看做出栈，任意时刻，入栈的次数一定不能少于出栈的次数。

每一种合法的走法都对应于一种合法的出栈方案。

$f(0) = 1, f(1)=1,f(2)=2 $

这也是一个catalan数列。

例6 括号问题

有$2\ast n$个括号，其中有n个左括号，n个右括号，问有多少种合法的括号表达式？

分析

问题可以转换为出栈序列。将左括号看做入栈，右括号看做出栈即可

例7 握手问题

在圆桌旁均匀地坐了$2\ast n$个人，某一瞬间，每个人都在和另一个人握手，而且所有人握手都没有交叉发生。问有多少种可能的握手方案。

分析

按顺时针方向给$2\ast n$个人编号，每一对握手的人，可以看做是一对括号。于是问题就变为了括号问题。

综合以上模型，卡特兰的递推式为：
$f(n)={\sum }_{i=0}^{n-1}f(i)\ast f(n-1-i)$
通项公式为：
$f(n)=C(2n,n)-C(2n,n-1)=\frac{1}{n}C(2n,n-1)=\frac{1}{n+1}C(2n,n)$