中国剩余定理

中国剩余定理

类似于这样的问题：有一个数，模5余2，模7余3，模13余8，……，求这个数是多少？
实质上就是求一个模线性方程组。
$\{\begin{array}{l}x\equiv a_1(\mathrm{mod}{r}_1)\\ x\equiv a_2(\mathrm{mod}{r}_2)\\ x\equiv a_3(\mathrm{mod}{r}_3)\\ \dots \\ x\equiv a_k(\mathrm{mod}{r}_k)\end{array}$
其中，$r_1,r_2,\dots ,r_k$互质。
中国剩余定理就是解决这种模数互质的模线性方程组的。
因为$r_1,r_2,\dots ,r_k$互质，所以，对于$r_i$,设$A_i={\prod }_{j\ne i}{r}_j$,则$A_i,r_i$是互质的，则必存在一个整数$c_i$,使得$c_i\ast A_i\%r_i=1$,则设$x_i=a_i\ast c_i\ast A_i$,则$x_i\%r_i=a_i$。因为$A_i$是除了$r_i$以外的其他$r$值的最小公倍数，所以，$x_i$ 模其他的r，余数都为0，只有模$r_i$时，余数为$a_i$。
这就是说，把$x_i$加到满足其他方程（比如第j个方程,$j\ne i$）的解$x_j$上，则$(x_i+x_j)$ 也满足方程$i$。同理，如果$x_j$ 也是这么求出来的，则$(x_i+x_j)$也满足方程$i$。
那么，我们对于每一个方程，都按照这个方法求出来该方程的解。把这些解累加起来，你会发现，这个和仍然满足每一个方程。
则$x=\sum _{i=1}^k{a}_i\ast c_i\ast A_i$

对于x，如果我们加上所有的r值的最小公倍数，它仍然满足所有方程。
所以，只有存在x，则意味着有无穷多组解。
通解为：
$x=\sum _{i=1}^k{a}_i\ast c_i\ast A_i+p\ast {\prod }_{i=1}^k{r}_i$
其中，p是任意整数。

扩展中国剩余定理

中国剩余定理采用的是构造法做的，要求模数互质。但是如果模数不互质，怎么办呢？
那么这就是扩展中国剩余定理要解决的问题了。
$\{\begin{array}{l}x\equiv a_1(\mathrm{mod}{r}_1)\\ x\equiv a_2(\mathrm{mod}{r}_2)\\ x\equiv a_3(\mathrm{mod}{r}_3)\\ \dots \\ x\equiv a_k(\mathrm{mod}{r}_k)\end{array}$
首先取方程组的前两个方程：
$x=k\ast r_1+a_1=p\ast r_2+a_2$
$k\ast r_1-p\ast r_2=(a_2-a_1)$
这个形如$ax+by=c$的不定方程，用扩展欧几里得算法即可。
当$gcd(r_1,r_2)$不能整除$a_2-a_1$时，方程组无解。
否则，根据exgcd，求出$k_0$，满足$k_0\ast r_1-p\ast r_2=(a_2-a_1)$。k的通解为：$k=k_0+b\ast (r_2/gcd(r_1,r_2))$
代入到方程组$x=k\ast r_1+a_1$中，则有$x=(k_0+b\ast (r_2/gcd(r_1,r_2)))\ast r_1+a_1=k_0\ast r_1+b\ast lcm(r_1,r_2)+a_1$
其中b为任意整数。
即：$x\equiv (k_0\ast r_1)+a_1(\mathrm{mod}lcm(r_1,r_2))$
这个方程相当于合并了原来的两个方程，而形式上又和原来的方程一致。
继续采用这个方法，不断地合并方程组中的两个方程，直到最后合并为一个方程，则得到了x的通解了。

注意在这个过程中，要注意求出的$k_0$是$k\ast r_1-p\ast r_2=(a_2-a_1)$的解，而不是$k\ast r_1-p\ast r_2=gcd(r_1,r_2)$的解。前者是后者的倍数。

一道例题：poj2891 （扩展中国剩余定理模板题）

给出一个模线性方程组，模数不互质，求方程的最小正整数解。如果无解，输出-1.

// ax+by=c
// x%a1=r1
// x%a2=r2
// x=k*a1+r1=p*a2+r2
// k*a1+q*a2=r2-r1
// a1,a2,r2-r1已知，所以可以通过exgcd求出k和q。
// 求出一个k值，设为k0.
// k=k0+a2/gcd(a1,a2)
// x=k*a1+r1=(k0+b*a2/(gcd(a1,a2)))*a1+r1=k0*a1+b*lcm(a1,a2)+r1
// x的通解 x=lcm(a1,a2)*b+k0*a1+r1
#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
#define LL long long int
#define abs(a) (a>0?a:-(a))
LL m,ans;
#define MAXN 1005
LL arr[MAXN],r[MAXN];
LL a,b,d,x,y,lcm;
void exgcd(LL a,LL b,LL &d,LL &x,LL &y)
{
    if(!b)
    {
        d=a,x=1,y=0;
    }
    else
    {
        exgcd(b,a%b,d,y,x);
        y-=x*(a/b);
    }
}
bool noans;
int main()
{
    while(scanf("%d",&m)!=-1)
    { 
    noans=0;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        scanf("%lld%lld",&arr[i],&r[i]);
    }
    for(int i=1;i<m;i++)
    {
        exgcd(arr[i],arr[i+1],d,x,y);
        if(abs(r[i+1]-r[i])%d)
        {
            noans=1;
            break;
        }
        x=(x*((r[i+1]-r[i])/d)%(arr[i+1]/d)+arr[i+1]/d)%(arr[i+1]/d);
        lcm=arr[i]*arr[i+1]/d;
        arr[i+1]=lcm,r[i+1]=(x*arr[i]+r[i])%lcm;
    }
    if(noans==0)
    ans=r[m];
    else
    ans=-1;
    printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}