### 关于闵可夫斯基距离的可视化
闵可夫斯基距离是一种通用的距离度量方式，可以通过调整参数 \( p \) 来表示多种具体形式的距离计算方法。其定义如下：
\[ d(A, B) = \left(\sum_{i=1}^{n}|b_i - a_i|^p\right)^{\frac{1}{p}} \]
其中，\( A(a_1, a_2, ..., a_n) \) 和 \( B(b_1, b_2, ..., b_n) \) 是两个点，而 \( p \) 控制着具体的距离类型[^1]。
#### 不同 \( p \) 值下的闵可夫斯基距离特性
- 当 \( p = 1 \)，闵可夫斯基距离退化为 **曼哈顿距离**。
- 当 \( p = 2 \)，闵可夫斯基距离等价于 **欧几里得距离**。
- 随着 \( p \to \infty \)，闵可夫斯基距离趋近于 **切比雪夫距离**。
为了更好地理解这些不同类型的距离及其几何意义，通常会通过二维平面上的图形展示它们的特点。
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### 示例代码：绘制闵可夫斯基距离的不同形态
以下是 Python 的实现代码，用于生成闵可夫斯基距离在不同 \( p \) 下的可视化效果：
```python
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
def minkowski_circle(center=(0, 0), radius=1, points=1000, p=2):
"""
绘制基于闵可夫斯基距离的圆周形状
:param center: 圆心坐标，默认为原点 (0, 0)
:param radius: 半径大小，默认为 1
:param points: 计算点的数量，默认为 1000
:param p: 距离参数 p，默认为 2（即欧几里得距离）
:return: None
"""
theta = np.linspace(0, 2 * np.pi, points)
x = []
y = []
for t in theta:
r = radius / ((np.abs(np.cos(t))**p + np.abs(np.sin(t))**p)**(1/p))
x.append(r * np.cos(t) + center[0])
y.append(r * np.sin(t) + center[1])
return x, y
# 设置绘图区域
fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 8))
# 定义多个 p 值进行比较
ps = [0.5, 1, 2, 10]
colors = ['red', 'blue', 'green', 'purple']
for idx, p_value in enumerate(ps):
x, y = minkowski_circle(p=p_value)
ax.plot(x, y, label=f'p={p_value}', color=colors[idx], linewidth=2)
ax.set_title('Minkowski Circles with Different p Values')
ax.legend(loc='upper right')
ax.grid(True)
plt.axis('equal') # 确保比例一致
plt.show()
```
上述代码展示了如何利用 `matplotlib` 库绘制闵可夫斯基距离对应的“圆形”。随着 \( p \) 的变化，“圆形”的轮廓也会发生显著改变：
- 当 \( p = 1 \)，形成的是菱形；
- 当 \( p = 2 \)，呈现标准的圆形；
- 当 \( p > 2 \)，逐渐接近正方形；
- 当 \( p < 1 \)，会出现凹陷的现象。
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### 结果解释
运行以上代码后，可以看到一组图像分别对应不同的 \( p \) 值下闵可夫斯基距离的表现形式。这种可视化的表达有助于直观了解该距离函数的行为特点以及与其他特定距离的关系。
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