闵科夫斯基(minkovski)距离

闵科夫斯基(minkovski)距离

闵科夫斯基距离不是一种距离，是一类距离。

若点$a$表示为$\left(x_{11},x_{12},x_{13}\dots \dots x_{1n}\right)$，点$b$表示为$\left(x_{21},x_{22},x_{23}\dots \dots x_{2n}\right)$，则闵科夫斯基距离定义为：

$$d_{12}=\sqrt[p]{\sum _{k=1}^n{\left|x_{1k}-x_{2k}\right|}^p}$$

其中，$p$是一个参量，$p$选取不同的值，表示不同的距离：
$p=1$时，表示曼哈顿距离；
$p=2$时，表示欧式距离；
$p\to \infty$ 时，表示切比雪夫距离。

1、曼哈顿距离

曼哈顿距离又叫出租车距离或者城市区块距离，其形式为$d_{12}={\sum }_{k=1}^n\left|x_{1k}-x_{2k}\right|$，意义为在标准坐标系下两点的轴距距离之和。

其中红色的线表示的是曼哈顿距离，绿色的线表示的是欧式距离，蓝色的黄色的线表示的是等价的曼哈顿距离。

曼哈顿距离最早使用在计算机中，计算机屏幕中的像素点是整型，如果采用欧式距离会有浮点运算，增加了运算量，采用曼哈顿距离则可以避免此问题。如，计算AB两点距离，采用欧式距离结果是浮点型，若采用AC与CB方式计算，则只涉及加减运算，结果还是整型。

2、欧式距离

欧式距离就是常使用的空间距离，其形式为$d_{12}=\sqrt[2]{{\sum }_{k=1}^n{\left|x_{1k}-x_{1k}\right|}^2}$，表示空间中两点的直线距离。

3、切比雪夫距离

切比雪夫距离，其形式为$d_{12}=max\left|x_{1k}-x_{1k}\right|$，表示坐标数值差的绝对值的最大值。意义为在国际象棋中，王从一点走到另一点的最短距离。下图为所有点距离f6的切比雪夫距离。

曼哈顿距离和切比雪夫距离在高维空间中不成立。

和一点有相等切比雪夫的点会构成一个立方体，各面都和坐标轴垂直；和一点有相等曼哈顿距离的点会构成一个正八面体，与空间坐标系各个轴距相等的点分布在$x+y+z=a$的解析面上。