置换群-轮换、对换

置换群是由置换组成的群。设Ω为非空集合,设存在Ω上的一个置换

 

1、轮换

除()内的点参与轮换外,其余点不动

(a1,a2,a3,a4,a5....an)=|a1 a2 a3 a4 a5 a6... an|

                                     |a2,a3,a4,a5,a6....an,a1|

比如n=5,即1,2,3,4,5为集合内元素,(1,2,5)表示只有1,2,3参与轮换,3和4不参与轮换

(1,2,5)=|1 2 3 4 5|

             |2 5 3 4 1|

2、对换

2个点的轮换称为对换

比如

(1 2)=|1 2| 

          |2 1|

3、 每一组轮换可以表示为对换的乘积

(a1,a2....an)=(a1 a2)(a1 a3)...(a1 an)

 

 

首先,我们需要明确什么是平凡子和非平凡子。一个G的子集H如果同时满足以下条件,那么H就是G的子: 1. H非空; 2. 对于任意的x,y∈H,有x×y∈H; 3. 对于任意的x∈H,有x⁻¹∈H,其中x⁻¹表示x的逆元。 如果H既不是G本身,也不是仅包含单位元的单元素集合{e},那么H就是G的非平凡子。 现在我们来看题目中的情况。给定的G=[1],[2],[3],[4],[5],[6]上定义的二元运算×7如下表所示: | ×7 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |----|---|---|---|---|---|---| | 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | | 2 | 2 | 4 | 6 | 1 | 3 | 5 | | 3 | 3 | 6 | 2 | 5 | 1 | 4 | | 4 | 4 | 1 | 5 | 2 | 6 | 3 | | 5 | 5 | 3 | 1 | 6 | 4 | 2 | | 6 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 我们可以发现,这是一个由1到6的置换构成的对称S6,其中的二元运算×7就是置换的复合运算。也就是说,G实际上是S6的一个子。 由于S6有720个置换,而我们只需要找出G的所有非平凡子,因此可以采用以下的方法: 1. 先找出S6的所有非平凡子; 2. 筛选出其中的子,使得它们的元素都属于G。 下面列出S6的所有非平凡子(参考自维基百科): - A6:由S6的所有偶置换组成,共有360个元素; - A5:由S6的所有5元置换组成,共有60个元素; - S4:由S6的所有4元置换组成,共有24个元素; - A4:由S6的所有4元置换的偶置换组成,共有12个元素; - D6:由S6的所有对称置换(即轮换和反向轮换)组成,共有20个元素; - D4:由S6的所有4元置换的对称置换组成,共有8个元素; - C3:由S6的所有3元置换组成,共有6个元素; - C2:由S6的所有2元置换(即对换)组成,共有15个元素。 接下来,我们只需要筛选出所有元素都属于G的子即可。注意到G就是S6的一个子,因此所有属于G的子都可以由G的一些元素生成。以下是G的所有非平凡子- <[1],[2],[3]>:这是G的一个三元循环,由于G生成的置换中只有3元置换所属于这个,因此它是G的子- <[1],[2],[3],[4],[5],[6]>:这是G本身; - <[1,4],[2,5],[3,6]>:这是G的一个三元对称,由于G生成的置换中只有三元置换的对称置换属于这个,因此它是G的子- <[1,4],[2,5]>:这是G的一个二元对称,由于G生成的置换中只有二元置换所属于这个,因此它是G的子。 这样,我们就找出了<G,×7>的所有非平凡子
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