本文介绍了如何利用OGF的公式推导快速计算指数表达式，通过将对数运算转换为积分形式，简化了计算过程，并指出时间复杂度为O(nlnn)。关键步骤包括多项式指数运算和对数函数的替换。
正题
对于每一种物品构造OGF,就有:Fk(x)=∑ixivk=11−xvk
F_k(x)=\sum_{i} x^{iv_k}=\frac{1}{1-x^{v_k}}
Fk(x)=i∑xivk=1−xvk1
那么答案就显然是:∏i=1nFi(x)
\prod_{i=1}^n F_i(x)
i=1∏nFi(x)
转化成ln之后,加起来再exp:=exp∑i=1nln(Fi(x))=exp∑i=1n−ln(1−xvk)
\\=\exp \sum_{i=1}^n \ln(F_i(x)) \\=\exp\sum_{i=1}^n-\ln(1-x^{v_k})\\
=expi=1∑nln(Fi(x))=expi=1∑n−ln(1−xvk)
可以发现后面那个东西:ln(1−xvk)=∫vkxvk−11−xvk=∫vkxvk−1∑i=0xivk=−∑i=1xivki
\ln(1-x^{v_k})\\=\int\frac{v_k x^{v_k-1}}{1-x^{v_k}}\\=\int v_kx^{v_k-1}\sum_{i=0}x^{iv_k}\\=-\sum_{i=1}\frac{x^{iv_k}}{i}
ln(1−xvk)=∫1−xvkvkxvk−1=∫vkxvk−1i=0∑xivk=−i=1∑ixivk
然后换掉上面的就可以快速算exp后面的东西了,时间复杂度O(nlnn)
O(n\ln n)
O(nlnn)
然后做一次多项式exp即可.
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