仓鼠的数学题,洛谷P3711,伯努利数简单应用

原创于 2020-10-08 20:37:16 发布 · 347 阅读

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伯努利数

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这篇博客介绍了如何使用快速傅里叶变换(FFT)进行多项式乘法。作者首先建议读者熟悉伯努利数，然后详细阐述了在计算关于x^i的系数时如何通过提公因式和逆元来简化计算。通过一系列的矩阵运算，作者展示了如何利用FFT高效地完成多项式乘法，并提供了一个C++实现的样例代码。该代码包括了预处理、多项式转换和快速傅里叶变换的步骤，最后给出了一个完整的计算过程。

正题

如果不会伯努利数可以先看看本人的学习笔记

然后给出来了式子就直接往上套,因为要求关于x^i的系数所以我们只能做0~x-1的自然数幂和,先把x^k单独提出来,最后再给每一项加上a_k即可.

$\\ \sum_{k=0}^n S(x-1,k)a_k \\ \sum_{k=0}^n a_k\frac{1}{k+1}\sum_{i=0}^kC_{k+1}^i B_i x^{k-i+1} \\ \sum_{k=0}^n a_k\frac{1}{k+1}\sum_{i=1}^{k+1}\frac{B_{k-i+1}}{(k-i+1)!}\frac{x^i}{i!} \\ \sum_{i=1}^{n+1} \frac{x^i}{i!}\sum_{k=i-1}^{n}\frac{B_{k-i+1}}{(k-i+1)!}\frac{a_k}{(k+1)!}$

显然最后一部分是一个翻转套路,然后求一遍FFT即可.

#include<bits/stdc++.h>
#define vi vector<int>
using namespace std;

int mod=998244353;
int ksm(int x,int t){
	int tot=1;
	while(t){
		if(t&1) tot=1ll*tot*x%mod;
		x=1ll*x*x%mod;
		t/=2;
	}
	return tot;
}
const int N=600010;//2<<18
int poor[2400010];
int fac[N],finv[N],n,limit,where[N];
int*w[2][19],*now=poor;

inline char nc()
{
    static const int BS = 1 << 22;
    static unsigned char buf[BS],*st,*ed;
    if(st == ed) ed = buf + fread(st=buf,1,BS,stdin);
    return st == ed ? EOF : *st++;
}
#define nc getchar
inline int read()
{
    char ch;
    int res = 0;
    while (!isdigit(ch = nc()));
    while (ch >= '0' and ch <= '9')
    {
        res = (res << 1) + (res << 3) + (ch - '0');
        ch = nc();
    }
    return res;
}


inline void write(int x){
	if (x < 0) x = ~x + 1, putchar('-');
	if (x > 9) write(x / 10);
	putchar(x % 10 + '0');
}

void pre(){
	fac[0]=1;for(int i=1;i<=600000;i++) fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mod;
	finv[600000]=ksm(fac[600000],mod-2);
	for(int i=599999;i>=0;i--) finv[i]=1ll*finv[i+1]*(i+1)%mod;
	for(int u=0,l=2;u<19;u++,l<<=1){
		w[1][u]=now;now+=l+1;
		w[0][u]=now;now+=l+1;
		w[1][u][0]=1;w[1][u][1]=ksm(3,(mod-1)/l);
		for(int i=2;i<=l;i++) w[1][u][i]=1ll*w[1][u][i-1]*w[1][u][1]%mod;
		for(int i=0;i<=l;i++) w[0][u][i]=w[1][u][l-i];
	}
}

void prepare(int n){
	int l=0;limit=1;
	while(limit<=n) limit<<=1,l++;
	for(int i=0;i<limit;i++) where[i]=((where[i>>1]>>1) | ((i&1)<<(l-1)));
}

void DFT(int*now,int op){
	int**w0=w[op];
	for(int i=0;i<limit;i++) if(i<where[i]) swap(now[i],now[where[i]]);
	for(int l=1,c=0;l<limit;l*=2,++c){
		for(int i=0;i<limit;i+=l+l){
			register int*s=now+i,*t=now+i+l,*w=w0[c];
			for(register int u=0;u<l;++u){
				register int b=1ll*t[u]*w[u]%mod;
				t[u]=(s[u]<b)?(s[u]-b+mod):(s[u]-b);
				s[u]=(s[u]+b>=mod)?(s[u]+b-mod):(s[u]+b);
			}
		}
	}
	if(!op){
		int tmp=ksm(limit,mod-2);
		for(int i=0;i<limit;i++) now[i]=1ll*now[i]*tmp%mod;
	}
}

void MUL(int*f,int*g,int n,int m){
	static int b[N];
	int tot=n+m-2;
	prepare(tot);
	for(int i=n;i<limit;i++) f[i]=0;
	for(int i=m;i<limit;i++) g[i]=0;
	for(int i=0;i<limit;i++) b[i]=g[i];
	DFT(f,1);DFT(b,1);
	for(int i=0;i<limit;i++) f[i]=1ll*f[i]*b[i]%mod;
	DFT(f,0);
}

void INV(int*f,int n){
	if(n==1) {f[0]=ksm(f[0],mod-2);return ;}
	int f0[n<<2];
	for(int i=0;i<(n+1)/2;i++) f0[i]=f[i];
	INV(f0,(n+1)/2);prepare(n+(n+1)/2*2-3);
	for(int i=n;i<limit;i++) f[i]=0;
	for(int i=(n+1)/2;i<limit;i++) f0[i]=0;
	DFT(f,1);DFT(f0,1);
	for(int i=0;i<limit;i++) f[i]=1ll*f0[i]*(mod+2-1ll*f[i]*f0[i]%mod)%mod;
	DFT(f,0);
}

int A[N],B[N],f[N],g[N];

int main(){
	//freopen("P3711_2.in","r",stdin);
	//freopen("ans.out","w",stdout);
	n=read();pre();
	for(int i=0;i<=n;i++) A[i]=B[i]=read(),A[i]=1ll*A[i]*fac[i]%mod;
	for(int i=0;i<=n;i++) f[i]=finv[i+1];
	INV(f,n+1);
	for(int i=0;i<=n/2;i++) swap(f[i],f[n-i]);
	MUL(f,A,n+1,n+1);write(B[0]);
	for(int i=1;i<=n+1;i++){
		putchar(' ');write((1ll*f[n+i-1]*finv[i]+B[i])%mod);
	}
}