弦图:图上求解多种复杂问题的简单情况

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弦图

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本文介绍了弦图的基本概念及性质，包括弦图的定义、诱导子图的概念、单纯点的特点以及如何通过完美消除序列判断一个图是否为弦图。此外，还探讨了基于完美消除序列求解最大独立集与最小团覆盖等关键问题。

正题

如果想要严格证明,请到这里,这里只是用来背结论和性质的.

弦图:每个大小>=4的环都必有一条不连接相邻点的边,注意辨析,只有三元环的图不一定是弦图,像一个六边形,中间有一个点,这个点连向所有六边形上的点,由于外部的六边形形成了一个环,但是没有一条不连接相邻点的边,所以这个图不是弦图.

团:完全图

诱导子图:点集是原图的点集的子集,边集是是原图边集的子集且满足两端点在点集内.

弦图的诱导子图是弦图

单纯点:与有连边的点的诱导子图形成了一个团.

弦图至少有一个单纯点

完美消除序列:一个排列,满足 $v_i\to v_n$ 构成的诱导子图中, $v_i$ 是单纯点

一个图是弦图当且仅当它有完美消除序列

如何求解完美消除序列?

倒着构造,每次选出与已加入完美消除序列点连边最多的点,具体用一个n个vector来维护每一个度数有哪些点.证明前往这里.

scanf("%d %d",&n,&m);
int x,y;
for(int i=1;i<=m;i++){
	scanf("%d %d",&x,&y);
	g[x][y]=g[y][x]=true;
}
for(int i=1;i<=n;i++) V[0].push_back(i),label[i]=0;
int top=0;
for(int i=n;i>=1;i--){
	int now=0;
	while(!now){
		for(int j=V[top].size()-1;j>=0;j--) if(!tf[V[top][j]]){now=V[top][j];break;}
		else V[top].pop_back();
		if(now) break;top--;
	}
	V[top].pop_back();
	a[i]=now;tf[now]=true;
	for(int j=1;j<=n;j++) if(g[now][j]	&& !tf[j]){
		label[j]++;
		V[label[j]].push_back(j);
		top=max(top,label[j]);
	}
}

a序列就是完美消除序列.

若图不是弦图,则a不是完美消除序列,运用定义,问问每一个 $v_i$ 是不是单纯点即可,直接暴力问是否为单纯点复杂度爆表,实际上只需要问 $v_i$ 向后连接的第一个点 $v_j$ ,是否与 $v_i$ 向后连接的其他点有边相连即可,因为已经保证了 $v_j$ 是一个单纯点,这样就可以保证 $v_j$ 与 $v_i$ 后面连接的点一定形成一个团,从而证明 $v_i$ 也是一个单纯点,若 $v_j$ 没有这样的连边,也很容易证明 $v_i$ 不是单纯点.

最大独立集=最小团覆盖

首先对于所有无向图,最大独立集<=最小团覆盖,因为每一个团里面至多选出一个点当最大独立集的点.

对于完美消除序列,从前向后贪心,每次如果当前点 $v_i$ 没有被覆盖,则选为最大独立集的点,将后面与 $v_i$ 连接的点标记为选中即可.

发现每一次覆盖一些点时,恰好形成了团,设一共分了t次,则有t<=最大独立集,最小团覆盖<=t,所以就有最大独立集=最小团覆盖=t

int ans=0;
for(int i=1;i<=n;i++) if(!tf[a[i]]){
	ans++;
	for(int j=1;j<=n;j++) if(g[a[i]][j]) tf[j]=true;
}

色数=团数

色数就是将整张图染色所需要的最小颜色,团数就是整张图的最大团的点数.

首先有团数<=色数,因为将一个团染色至少需要团数这么多个颜色.

考虑在完美消除序列上从后往前构造,对于一个点i,只要它与后面连接的点都不相同就可以了,这样色数就必定<=团数,从而证明色数=团数.

for(int i=1;i<=n;i++) mmax=max(mmax,label[i]);