18、三角函数与泰勒斯定理深度解析

三角函数与泰勒斯定理深度解析

1. 三角函数基础

三角函数的定义源于直角三角形边的比例关系。对于锐角 ( \angle XOY )，设 ( B ) 为 ( OY ) 边上一点，其在 ( OX ) 上的投影为 ( A )，构成直角三角形 ( OAB )。由此定义了以下比例关系：
- ( s = \frac{|AB|}{|OB|} )
- ( c = \frac{|OA|}{|OB|} )
- ( t = \frac{|AB|}{|OA|} = \frac{s}{c} )
- ( t’ = \frac{|OA|}{|AB|} = \frac{1}{t} )

这些比例不依赖于 ( B ) 在 ( OY ) 上的位置，仅取决于 ( \angle XOY ) 的大小 ( \omega )，进而定义了三角函数：
- ( \sin(\omega) = s )
- ( \cos(\omega) = c )
- ( \tan(\omega) = t )
- ( \cot(\omega) = t’ )

这些函数之间存在紧密联系，例如：
- ( \tan(\omega) = \frac{1}{\cot(\omega)} = \frac{\sin(\omega)}{\cos(\omega)} )
- 根据勾股定理 ( |AB|^2 + |OA|^2 = |OB|^2 )，可得 ( \sin^2(\omega) + \cos^2(\omega) = 1 )

可以选择其中一个函数作为基本函数，来表示其他函数。例如，若选择 ( \sin(\omega) ) 为基本函数，则：
- (