8、统计学习中的预测区间与高斯过程回归

统计学习中的预测区间与高斯过程回归

在统计学习领域，预测的可靠性和模型的准确性至关重要。本文将深入探讨预测区间的验证以及高斯过程回归（GPR）这一先进的学习方法，同时介绍如何将工程专业知识融入统计学习中。

1. 预测区间的验证

在统计预测中，预测区间是衡量预测可靠性的重要指标。通过一个示例，我们来验证预测区间的有效性。

在图的右侧展示了 $\hat{m}_q^B(x)$（蓝色）和 90% 预测区间（浅蓝色）。这里的预测区间是根据特定公式构建的，其中用 1.645 替换了 1.96。同时，有一个独立的测试集 $(\tilde{X}_j, \tilde{Y}_j)$，$j = 1, \ldots, N$，其大小 $N = 51$，与训练集大小相同且生成方式一致。

预测区间的构建目标是在 90% 的情况下包含真实输出 $\tilde{Y}_j$。在这个示例中，测试集中有 5 个数据点落在置信区间之外（其中 2 个几乎位于下边界），即 51 个数据中有 46 个被置信区间覆盖，约为 90%。这一结果证实了预测的可靠性。

需要注意的是，到目前为止，我们假设残差方差 $\sigma_{\epsilon}^2$ 是已知的，但在实际应用中，这种情况很少见。不过，对于大样本量 $N$，可以用粗略估计值代替残差方差，对贝叶斯回归性能的影响较小。必要时，也有更精细的方法可供使用。

2. 高斯过程回归（GPR）

高斯过程回归是一种基于贝叶斯原理的先进学习方法。其核心思想是将回归模型中描述输入和输出关系的函数视为随机变量，具体为高斯随机变量。

2.1 高斯过程的概念

为了理解高斯