8、密码学中的秘密共享与标签签名方案

密码学中的秘密共享与标签签名方案

秘密共享方案

秘密共享是一种在一组参与者之间共享秘密的加密过程。早期的 (t, n) 阈值秘密共享方案由Shamir和Blakley在1979年分别提出。在该方案中，将秘密分成n个影子分发给n个参与者，任意t个参与者可以重构秘密，少于t个参与者则无法获取秘密信息。后来，Ito提出了基于访问结构的秘密共享方案，只有“合格子集”的参与者能重构秘密，“不合格子集”的参与者则不能。

然而，现有的基于访问结构的秘密共享方案大多存在以下缺点：
1. 需要公告板为每个合格子集提供额外的公共信息，增加了系统的复杂性和安全风险。
2. 一个参与者需要保存多个影子，并且在重构时需要参与者之间进行信息交互以选择合适的影子。
3. 使用了如RSA和中国剩余定理等复杂算法，计算成本高。
4. 无法共享多个秘密。

新方案的提出

基于拉格朗日插值法，提出了一种新的基于访问结构的秘密共享方案。该方案具有以下优点：
1. 不需要额外的公共信息。
2. 每个参与者只需保存一个影子。
3. 设计方法简单，计算成本低。
4. 不仅可以共享单个秘密，还可以共享多个秘密。

方案流程

• 分发阶段 ：
  1. PKG（私钥生成器）构造m个多项式，其中系数 (a_{i1}, a_{i2}, \cdots, a_{i(t_i - 1)}) 属于 (Z_p)，P是一个大素数。
  2. 根据每个最小合格子集的参与者构造方程。如果参与者 (u_i) 属于最小合格子集