17、视觉伺服多准则分析：基于李雅普诺夫函数与线性矩阵不等式

视觉伺服多准则分析：基于李雅普诺夫函数与线性矩阵不等式

1. 方法理论基础

1.1 李雅普诺夫理论要素

1.1.1 李雅普诺夫函数定义基础

多准则吸引域的概念在分析闭环系统稳定性时十分关键。对于闭环系统（10.4），若存在一个集合 $\tilde{E}$，它是初始条件的一个域，从这个域出发的系统状态轨迹会收敛到平衡点 $\tilde{x}^* = 0$，并且完全位于由准则（10.5）定义的状态空间的可允许子集中，那么 $\tilde{E}$ 就被称为多准则吸引域。

为了找到这个多准则吸引域，我们寻求一个函数 $V(.,.) : \tilde{X} \times X_{\chi} \to \mathbb{R}$，使得 $\tilde{E} \triangleq {\tilde{x} : V(\tilde{x},\chi) \leq 1, \forall \chi \in X_{\chi}}$ 是多准则吸引域。函数 $V(.,.)$ 的类型预先选定，其自由度构成一个矩阵 $P$，需要对 $P$ 进行调整，使得 $V(.,.) = V_P(.,.)$ 满足以下三个规则：
1. $V_P(.,.)$ 是 $\tilde{X} \times X_{\chi}$ 上的李雅普诺夫函数，保证 $\tilde{x}^ = 0$ 局部渐近稳定，即：
- $\forall (\tilde{x},\chi) \in (\tilde{X} \setminus {0}) \times X_{\chi}, V_P(\tilde{x},\chi) > 0$；
- $\forall \chi \in X_{\chi}, V_P(0,\chi