14、特殊线性群上单应性动力学的估计

特殊线性群上单应性动力学的估计

1. 理论背景

单应性是平面场景 $P$ 的两个图像之间的映射。设 $p = (u, v)$ 表示针孔相机归一化图像平面中观察到的三维点 $\xi \in P$ 的像素坐标。设 $A$（或 $B$）表示相机 $A$（或 $B$）图像平面的投影坐标，${A}$（或 ${B}$）表示其参考系。一个 $(3\times3)$ 的单应性矩阵 $H : A \to B$ 定义了如下映射：
$p_B = w(H, p_A)$，其中
$w(H, p)=\begin{bmatrix} (h_{11}u + h_{12}v + h_{13})/(h_{31}u + h_{32}v + h_{33}) \ (h_{21}u + h_{22}v + h_{23})/(h_{31}u + h_{32}v + h_{33}) \end{bmatrix}$

该映射在比例因子下定义。即对于任何比例因子 $\mu \neq 0$，$p_B = w(\mu H, p_A) = w(H, p_A)$。李群 $SL(3)$ 是实矩阵的集合：
$SL(3) = {H \in R^{3\times3} | det(H) = 1}$

如果假设相机连续观察平面物体，则任何单应性都可以由单应性矩阵 $H \in SL(3)$ 表示，使得
$H = \gamma K \begin{bmatrix} R + \frac{tn^T}{d} \end{bmatrix} K^{-1}$

其中 $K$ 是包含相机内参的上三角矩阵，$R$ 是表示 ${B}$ 相对于 ${A}$ 方向的旋转矩阵，$t$ 是 ${B}$ 原点在 ${A}$ 中坐标的平移向量，$