78、自适应滤波器的扩展与当前研究

自适应滤波器的扩展与当前研究

1. 有限精度算术概述

在使用有限精度算术进行运算时，往往会引入误差。例如，计算 $a = 0.957$ 和 $b = 0.542$ 的乘积，精确结果是 $c = 0.518694$。但如果只保留三位数字存储，最终结果就变成 $\overline{c} = 0.519$，误差为 $c - \overline{c} = -3.06 \times 10^{-4}$。这些量化误差可能会累积，对自适应滤波器的性能产生重要影响。由于量化误差是变量的高度非线性函数，精确分析其影响十分复杂。

研究有限精度算术效应时，了解算术运算的具体方式和顺序很重要，尤其是所使用的精确数值表示，如定点与浮点、截断与舍入等。这使得对大量滤波器进行统一有效的分析变得困难。基于梯度的算法（如 LMS 和 NLMS）与基于 Hessian 的算法（如 RLS）之间存在重要差异。下面先来看 LMS 算法中的有限精度效应。

2. LMS 算法中的有限精度效应

• 量化误差对 EMSE 的影响 ：在有限精度算术中，最简单的自适应滤波器模型将量化误差视为均匀分布且与所有变量独立的随机噪声。这些模型表明，量化误差会给 EMSE 增加一个额外项。即使在平稳环境中，当步长减小到零时，该项也不会收敛到零，反而与步长成反比，类似于非平稳环境中的 EMSE。
• 下溢问题 ：当 $e(n)$ 变小时，乘积 $\mu e(n)$ 可能会被舍入为零（下溢），从而实际上停止自适应过程。当步长较小时，滤波器可能在离最优解还很远时就出现这种情况。因此，步长存在一个最优值，既不能太大以避免增