59、剪切波变换及其应用与小波融入神经网络介绍

剪切波变换及其应用与小波融入神经网络介绍

1. 离散剪切波原子的傅里叶内容

离散剪切波原子 ((h) {k,l,m}) 的傅里叶内容支撑在一对梯形上，这些梯形沿着斜率为 (l2^{-k}) 的直线排列，大小约为 (2^{2k} × 2^{k})，可表示为：
(W {k,l} = { \xi = (\xi_x,\xi_y) : \xi_x \in [-2^{2k + 1}, -2^{2k - 1}] \cup [2^{2k - 1}, 2^{2k + 1}], |\frac{\xi_y}{\xi_x} - l2^{-k}| \leq 2^{-k} })
这个离散剪切波原子系统在水平锥 (D(h)) 上定义了一个 Parseval 框架，并且可以得到一个精确的再现定理。

2. 剪切波变换的数值实现

2.1 新实现方式

为方便计算，新的实现方式通过在水平和垂直区域分别引入以下函数来重新表述剪切波变换：
(W_{kl}^{(h)}(\xi) = 2^{k/2} \phi_2(2^k \frac{\xi_y}{\xi_x} - l)\chi_{D(h)}(\xi))
(W_{kl}^{(v)}(\xi) = 2^{k/2} \phi_2(2^k \frac{\xi_x}{\xi_y} - l)\chi_{D(v)}(\xi))
函数 (W_{kl}^{(d)}(\xi))（(d = v) 或 (h)）是一个窗口函数，支撑在傅里叶平面的一对梯形上，它对应于一个空间函数 (w_{kl}^{(d)}(n_1,n_2))。此时，剪切波在式 ((9.5.5.2)) 中的傅里叶内容可写为：
(