19、随机信号与随机过程的深入剖析

随机信号与随机过程的深入剖析

1. 功率谱密度与自相关、互相关的关系

1.1 自相关与功率谱密度

功率谱密度 $S_{XX}(e^{j\theta})$ 与随机序列的自相关函数紧密相关，其关系表达式为：
$S_{XX}(e^{j\theta}) = F[A[R_{XX}[n,n - k]]]$
其中，$P_{xx} = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}S_{XX}(e^{j\theta})d\theta$。$S_{XX}(e^{j\theta})$ 是 $\theta$ 的非负实函数，若 $X[n]$ 为实序列，$S_{XX}(e^{j\theta})$ 是 $\theta$ 的偶函数。

1.2 互相关与互功率谱密度

互功率 $P_{xy}$ 定义为 $P_{xy} = A[E[X[n]Y^{ }[n]]]$，经过推导可得：
$P_{xy} = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\lim_{N\rightarrow\infty}\frac{E[X_N(e^{j\theta})Y_N^{ }(e^{j\theta})]}{2N + 1}d\theta$
其中，$Y_N(e^{j\theta}) = F[Y_N[n]]$，$y_N[n] = \begin{cases}y[n], & -N\leq n\leq N \ 0, & \text{otherwise}\end{cases}$
互功率谱密度 $S_{XY}(e^{j\theta})$ 定义为：
$S_{XY}(e^{j\theta}) = \lim