19、多广义平稳随机过程的深入剖析

多广义平稳随机过程的深入剖析

1. 引言

在之前的研究中，我们将多个随机变量 $X$ 和 $Y$ 定义为从实验的样本空间 $S$ 到 $x - y$ 平面上某一点 $(x, y)$ 的映射。现在，我们将这一定义扩展为从 $S$ 到 $x - y$ 平面上随时间演变的点，用 $(x[n], y[n])$ 表示，其中 $-\infty < n < \infty$。这种映射，记为 $(X[n], Y[n])$ 或等价地记为 $[X[n] Y[n]]^T$，被称为联合分布随机过程。

联合分布随机过程在许多实际场景中有重要应用。例如，在气象学中，某一地理位置的每日温度和气压 $(T[n], P[n])$ 就是联合分布随机过程。由于温度和气压这两个随机过程可能存在相关性，如气压下降通常预示着风暴来临，进而导致温度下降，因此对它们进行联合分析更有意义。另一个例子是美联储贴现率（联邦政府向银行收取的利息百分比）的变化对就业创造率的影响。通常认为，降低贴现率可以使公司更便宜地借款，从而投资新产品和服务，增加劳动力需求。描述这种情况的联合分布随机过程是每日贴现利率 $I[n]$ 和每日美国就业人数 $J[n]$。

本文将广义平稳（WSS）随机过程的概念扩展到两个联合分布的 WSS 随机过程。多随机过程理论也被称为多元随机过程、多通道随机过程和向量随机过程。同时，我们还将探讨线性时不变（LSI）系统输入和输出处随机过程的特征。

2. 概述

两个随机过程 $X[n]$ 和 $Y[n]$ 是联合 WSS 的，如果它们各自是 WSS 的（满足以下条件），并且由下式定义的互相关不依赖于 $n$：
- $\mu_{X}[n] = E[X[n]]