19、随机几何图相关模型的深入剖析

随机几何图相关模型的深入剖析

1. 硬随机几何图

硬随机几何图是随机几何图的一种基础形式。其平均聚类系数有着独特的变化规律，它从维度 (d = 1) 时的 (3/4) 下降到维度 (d) 约为 10 时的 (10^{-1}) 量级，并且与节点数量无关。这和 ER 图形成了鲜明对比，ER 图的平均聚类系数 (\langle C\rangle\sim1/N)（固定平均度），这表明随机几何图比随机 ER 图更具聚类性。主要原因在于，大多数空间图中长连接是被禁止或很少出现的。如果节点 (j) 和 (k) 都与节点 (i) 相连，那么它们通常处于节点 (i) 的空间邻域内，这就增加了 (j) 和 (k) 之间距离较小的概率，从而导致较大的平均聚类系数 (\langle C\rangle)。

在硬随机几何图中，巨分量的计算是一个重要的研究内容。在自组织网络中，用户通过短程无线电设备进行通信。当节点密度足够大时，会存在一个临界密度，在固定范围 (R) 和体积 (N/\rho) 的情况下，低于这个临界密度时，图由典型大小约为 (\log N) 的小分量组成；高于这个临界密度时，则会出现大小约为 (N) 的巨分量。Gilbert 讨论了节点属于无限簇的概率 (P_{\infty})，并找到了一个临界半径 (R_c)，当半径大于 (R_c) 时会出现巨分量，最新的边界给出 (R_c \simeq 1.19 \pm 0.001)。

理论上，巨分量出现的条件可以通过与 ER 网络类似的方法找到。主要思路是确定度为 (k) 的节点不属于巨分量的概率 (u)，它满足 (u = \sum_{k’} P(k’|k)u^{k’-1})，其中 (P(k’|k)) 是度为 (k) 的节点的邻居节点度为 (k’) 的条