18、随机信号与随机过程的深入解析

随机信号与随机过程的深入解析

1. 遍历性相关概念

在随机信号与随机过程的研究中，遍历性是一个重要的概念。对于具有时不变自相关的随机序列 (X[n])，当任意时刻的自相关 (r_{xx}[k]) 以概率 1 等于 (R_{XX}[k]) 时，即要求 (\sigma_{R_{xx}[k]}^2 = 0)，则称该序列是自相关遍历的。对于具有时不变互相关的两个序列 (X[n]) 和 (Y[n])，当任意时刻的互相关 (r_{xy}[k]) 以概率 1 等于 (R_{XY}[k]) 时，即要求 (\sigma_{R_{xy}[k]}^2 = 0)，则称它们是互相关遍历的。随机序列的相关遍历性条件涉及四阶矩。

一个过程（序列）如果既是均值遍历又是自相关遍历的，则称为广义遍历。两个广义遍历的过程（序列）如果还是互相关遍历的，则称为联合广义遍历。当一个过程（序列）对于每一个矩都是遍历的时候，就称它是分布遍历的。

由随机常数实现构成的严平稳随机过程（序列）在任何意义上都不是遍历的。而对于宽平稳过程 (X(t))（序列 (X[n])），如果在任意不同时刻 (t_1) 和 (t_2)（(n_1) 和 (n_2)）统计不相关，即 (C_{XX}(t_1 - t_2) = \delta(t_1 - t_2))（(C_{XX}[n_1 - n_2] = \delta[n_1 - n_2])），那么它是均值遍历的。

在实际情况中，往往只能得到一个随机过程（序列）的单个实现。如果已知该过程（序列）是遍历的，就可以利用强大的统计建模框架。但对于只知道单个样本函数的过程（序列），如何保证其具有遍历性呢？其实要求并不严格，只需要确定存在一个遍历过程（序列），使得该时间函数可能是其一个实现即可。例