9、拉普拉斯变换：定义、性质及应用

拉普拉斯变换：定义、性质及应用

1. 拉普拉斯变换简介

拉普拉斯变换以法国数学家皮埃尔 - 西蒙·拉普拉斯的名字命名，是解决微分方程的重要工具，在设计和分析线性系统方面非常有用。它是一种数学运算，将变量（或函数）从其原始域映射到拉普拉斯域（即 s 域）。

在处理工程问题时，常常需要对依赖于函数变化率的物理现象进行建模，微积分和微分方程是自然的数学工具。然而，微积分求解（普通）微分方程要求函数连续且导数连续，而工程问题中经常会遇到脉冲、非周期或分段定义的输入信号。

傅里叶变换也是信号分析和线性滤波器设计的重要工具，但单位阶跃函数在 t = 0 处不连续，虽然它有拉普拉斯变换，但其正向傅里叶积分不收敛。因此，拉普拉斯变换对于脉冲、非周期或分段定义的输入项特别有用。

拉普拉斯变换将时域映射到 s 域（s = σ + jω），将积分和微分方程转换为代数方程。它把时域一维信号 x(t) 转换为在复平面（s 平面）上定义的复表示 X(s)，复平面由变量 σ（实轴）和 ω（虚轴）张成。

1.1 双边拉普拉斯变换

信号 x(t) 的双边（或双侧）拉普拉斯变换定义为：
[X(s) = L{x(t)} = \int_{-\infty}^{\infty} x(t)e^{-st}dt]
符号 (X(s) = L{x(t)}) 表示 (X(s)) 是 (x(t)) 的拉普拉斯变换，反之，(x(t) = L^{-1}{X(s)}) 表示 (x(t)) 是 (X(s)) 的逆拉普拉斯变换，这种关系用 (x(t) \stackrel{L}{\longleftrightarrow} X(s)) 表示。

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