数据结构之查找(七)——散列表(哈希表)

基本概念

• 基本思想：记录的存储位置与关键字之间存在对应关系，这种对应关系通过hash函数来体现，$$Loc(i)=H(keyi)$$，其中H(keyi)为hash函数。

• 例子：

  • 例子1
    
    上图中，学生学号的存储位置为学号的后两位。
  • 例子2
    

• 如何查找？
  以上两例为例，
  若查找2001011810216的信息，可直接访问V[16]；
  查找key=9，则访问H(9)=9号地址，若内容为9则成功，若查不到，则返回空指针或空记录。

• 优缺点：

  • 优点：查找效率高
  • 缺点：空间效率低

• 相关术语：

  • 散列方法： 选取某个函数，依该函数按关键字计算元素存储位置，并按此存放；查找时，由同一函数对给定值k计算地址，将k与地址单元中元素关键码进行对比，确定查找是否成功。
  • 散列函数： 散列方法中使用的转换函数。
  • 散列表： 按上述思想构造的表。
  • 冲突： 不同的关键码映射到同一个散列地址，$key1̸=key2,但是H(key1)=H(key2)$
    
  • 同义词： 具有相同函数值的多个关键字，如上图中的39，25和11。

构造方法

• 使用散列表要解决好两个问题：

  • 构造好的散列函数：
    • 所选函数尽可能简单，以便提高转换速度；
    • 所选函数对关键码计算出的地址，应在散列地址集中致均匀分布，以减少空间浪费。
  • 制定一个好的解决冲突的方案：
    • 查找时，如果从散列函数计算出的地址中查不到关键码，则应当依据解决冲突的规则，有规律地查询其它相关单元。

• 构造散列函数需考虑的因素：

  • 执行速度(计算散列函数所需时间)
  • 关键字长度
  • 散列表大小
  • 关键字的分布情况
  • 查找频率

• 根据元素集合的特性构造：

  • 要求1：n个数据原来仅占用n个地址，虽然散列查找是以空间换时间，但仍希望散列的地址空间尽量小。
  • 要求2：无论用什么方法存储，目的都是尽量均匀地存放元素，以避免冲突。

• 常用的方法有：

  • 直接定址法
  • 数字分析法
  • 平方取中法
  • 折叠法
  • 除留余数法
  • 随机数法

下面重点介绍直接定址法和除留余数法。

• 直接定值法:
  $$Hash(key)=a\cdot key+b(a、b为常数)$$
  优点：以关键码key的某个线性函数值为散列地址，不会产生冲突。
  缺点：要占用连续地址空间，空间效率低。
  

• 除留余数法:
  $$Hash(key)=key\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p(p是一个整数)$$

  • 选取合适p的技巧：若表长为m，取$p\le m$且为质数。
    

处理冲突的方法

• 常用方法有：
  • 开放地址法(开地址法)
  • 链地址法(拉链法)
  • 再散列法(双散列函数法)
  • 建立一个公共溢出区

下面重点介绍开地址法和链地址法。

• 开地址法：

  • 基本思想：有冲突时就去寻找下一个空的散列地址，只要散列表足够大，空的散列地址总能找到，并将数据元素存入。
  • 例如：除留余数法
    $$H_i=(Hash(key)+d_i)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m{d}_i为增量序列$$
  • 根据$d_i$构造方法的不同，将开地址法又分为3种，即，
    • 线性探测法， $d_i为1,2,\cdots ,m-1线性序列$
    • 二次探测法，$d_i为1^2,-1^2,2^2,-2^2,\cdots ,q^2二次序列$
    • 伪随机探测法，$d_i为伪随机序列$

• 开地址法——线性探测法

  • $H_i=(Hash(key)+d_i)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m(1\le i<m)$
    其中，m为散列表长度，$d_i$为递增序列$1,2,\cdots ,m-1,且d_i=i$。
    一旦有冲突，就找下一个地址，直到找到空地址存入。
  • 例子： 关键码集为{47，7，29，11，16，92，22，8，30}，散列表的表长为m=11；散列函数为$Hash(key)=keymod11$；拟用线性探测法解决冲突。
    

• 开地址法——二次探测法
  

• 开地址法——伪随机探测法

  • $H_i=(Hash(key)+d_i)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m(1\le i<m)$
    其中：m为散列表长度，$d_i$为伪随机数。

• 链地址法

  • 基本思想： 相同散列地址的记录链成一单链表，m个散列地址就设m个单链表，然后用一个数组将m个单链表的表头指针存储起来，形成一个动态的结构。
  • 例子： 一组关键字为{19，14，23，1，68，20，84，27，55，11，10，79}，取散列函数为$Hash(key)=keymod13$ 。
    方法如下图，
    
  • 具体步骤：
    • Step1： 取数据元素的关键字key，计算其散列函数值(地址)。若该地址对应的链表为空，则将该元素插入此链表；否则执行Step2解决冲突。
    • Step2： 根据选择的冲突处理方法，计算关键字key的下一个存储地址。若该地址对应的链表不为空，则利用链表前插法或后插法将该元素插入此链表。
  • 优点：
    • 非同义词不会冲突，无“聚集”现象。
    • 链表上结点空间动态申请，更适合于表长不确定的情况。

散列表的查找

• 查找过程：
  

• 例子： 已知一组关键字为{19，14，23，1，68，20，84，27，55，11，10，79}，取散列函数为$Hash(key)=keymod13$ ，散列表长度为m=16，设每个记录的查找概率相等。

  • 方法1： 线性探测法
    
    $$ASL=(1\ast 6+2+3\ast 3+4+9)/12=2.5$$
  • 方法2： 链地址法
    
    $$ASL=(1\ast 6+2\ast 4+3+4)/12=1.75$$

• 性能分析：

  • ASL取决于

    • 散列函数
    • 处理冲突的方法
    • 散列表的装填因子$\alpha$ ,$\alpha =\frac{表中填入的记录数}{哈希表的长度}$。
      $\alpha$越大，表中记录数越多，说明表装得越满，发生冲突得可能性就越大，查找时比较次数就越多。

  • ASL与装填因子$\alpha$有关，既不是严格的$O(1)$，也不是严格的$O(n)$。

    • 拉链法：$ASL\approx 1+\frac{\alpha }{2}$
    • 线性探测法：$ASL\approx \frac{1}{2}(1+\frac{1}{1-\alpha })$
    • 随机探测法：$ASL\approx -\frac{1}{\alpha }\ln (1-\alpha )$

• 几点结论：

  • 散列表技术具有很好的平均性能，优于一些传统的技术。
  • 链地址法优于开地址法。
  • 除留余数法作散列函数优于其他类型函数。