牛顿插值公式

均差（差商）

• $f[x_0,x_1]=\dfrac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}$　　　　　　　 一阶
• $f[x_0,x_1,x_2]=\dfrac{f(x_1,x_2)-f(x_0,x_1)}{x_2-x_0}$ 　二阶
  $\vdots$

性质

1.对上述二解均差展开，得，
$f[x_0,x_1,x_2]=\dfrac{f(x_0)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)}+\dfrac{f(x_1)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)}+\dfrac{f(x_2)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)}$
依次类推
有，$n$阶均差可表示为$f(x_0),\cdots,f(x_n)$的线性组合，且有，
$f[x_0,x_1,\cdots,x_n]=\sum\limits_{i=1}^n{\dfrac{f(x_i)}{w'_{n+1}(x_i)}}$
2.均差与节点的顺序无关
$f[x_0,x_1,\cdots,x_k]=\dfrac{f[x_1,\cdots,x_k]-f[x_0,\cdots,x_{k-1}]}{x_k-x_0}$(分母为不同的两个$x_i$相减)
3.$f[x_0,x_1,\cdots,x_n]=\dfrac{f^{(n)}(ξ)}{n!},a<ξ,x_1,\cdots ,x_n<b$

牛顿插值公式

利用均差进行迭代，得，

$$\begin{eqnarray} f(x)&=& f(x_0)+f[x,x_0](x-x_0)\\ &=& f(x_0)+f[x_0,x_1](x-x_0)+f[x,x_0,x_1](x-x_0)(x-x_1)\\ &\vdots&\\ &=& f(x_0)+f[x_0,x_1](x-x_0)+\cdots+f[x_0,x_1,\cdots,x_n](x-x_0)(x-x_1)\cdots(x-x_{n-1})+f[x,x_0,x_1,\cdots,x_n]w_{n+1}(x) \end{eqnarray}$$
除最后一项的前面项之和为$N_n(x)$,最后一项为插值余项$R_n(x)$,则$f(x)=N_n(x)+R_n(x)$,其中$N_n(x)$为牛顿插值公式，即$f(x)≈N_n(x)$。
当插值节点已知后，还需知其前$n$阶均差，就可算出$N_n(x)$,均差的计算通常要用到均差表。

均差表的建立

其中，以$f[x_1,x_2,x_3]$为例，分子为前面一阶均差的两项，分母则为$x_1,x_3$(以$f[x_1,x_2,x_3]$为顶点作两条线，其中$f(x_k)$所对应的$x_k$即为作为分母的$x_k$)。
- 对性质3的证明
已知在给定插值节点$x_0,x_1,\cdots,x_n$处,$R_n(x)=f(x)-N_n(x)=0$,即$R_n(x)$共有$n+1$个零点，则根据罗尔定理，存在$a<ξ<b$,使得$R_n^{(n)}(ξ)=0$,即
$f^{(n)}(ξ)-f[x_0,x_1,\cdots,x_n]n!=0$
$f[x_0,x_1,\cdots,x_n]=\dfrac{f^{(n)}(ξ)}{n!},a<ξ,x_1,\cdots ,x_n<b$

埃尔米特插值（插值条件与导数有关）

两种情况的描述

插值条件满足

$x$	$x_0$	$x_1$	$x_2$
$f(x)$	$f(x_0)$	$f(x_1)$	$f(x_2)$
$f'(x)$		$f'(x_1)$

或

$x$	$x_0$	$x_1$
$f(x)$	$y_0$	$y_1$
$f'(x)$	$y'_0$	$y'_1$

对于这两种情况，不仅要满足函数值得要求，还要满足其导数的要求。
- 对于第一种情况，有
$H_3(x)=f(x_0)+f[x_0,x_1](x-x_0)+f[x_0,x_1,x_2](x-x_0)(x-x_1)+A(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)$
再利用$H'_3(x_1)=f'(x_1)$求出$A$。
- 对于第二种情况
$H_3(x)=y_0\alpha_0(x)+y_1$$\alpha_1(x)+y'_0\beta_0(x)+y'_1\beta_1(x)$（$\alpha_0(x)$等均为3次多项式）
其中，对$\alpha_0(x)$,有，

$$\begin{cases} \alpha_0(x_0)=1\\ \alpha_0(x_1)=0\\ \alpha'_0(x_0)=0\\ \alpha'_0(x_1)=0 \\ \end{cases}$$
构造$\alpha_0(x)=(x-x_1)^2(ax+b)$,利用上述式子求出$a,b$。
构造一个4次多项式$P_4(x)$,满足

$x$	0	1	2
$f(x)$	2	-4	44
$f'(x)$	-9	4

- 1.设多项式为$P_4(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$,代入求解。
- 2.其差商表为

$x$	$f(x)$	一阶	二阶
0	2
1	-4	-6
2	44	48	27

构造$P_4(x)=2-6x+27x(x-1)+(ax+b)x(x-1)(x-2)$,代入，求出$a,b$
-3. 重节点
建立如下的差商表

$x$	$f(x)$	一阶	二阶	三阶	四阶
0	2
0	2	-9
1	-4	-6	3
1	-4	4	10	7
2	44	48	44	17	5

构造多项式$P_4(x)=2-9x+3x^2+7x^2(x-1)+5x^2(x-1)^2=5x^4-3x^3+x^2-9x+2$。