大哉数学之为用

嗨，大家好！我是nnn维线性空间中的非零向量阿尔法α\alphaα. 您学习了线性空间的概念以后一定觉得很抽象吧！今天我就给您当向导，一起来线性空间玩耍玩耍！什么叫线性空间？我家的兄弟姊妹很多，比如最小的兄弟0向量，我的孪生妹妹——负向量，−α-\alpha−α. 所有的向量构成了大家族——非空向量集合VVV.通过运算可以由已有的向量产生新的向量. VVV中的两个向量可以做加法，γ=α+β\...

12 基变换和坐标变换基变换和坐标变换同学们好！大家学完基变换和坐标变换一节后，是不是觉得特别难以理解呢？可是这一节是非常重要的内容哦！坐标变换在解析几何中还有非常重要的应用——就是用来化简二次曲线和二次曲面（对应二元二次型和三元二次型化标准形的问题），在线性变换一章中，坐标变换也是非常鲜活的例子，所以我们要学好这一节哦！尽管作者在编写这篇文章的时候，浏览器和markdown软件出了若干次故...

1 生成子空间的定义给定数域PPP上的线性空间VVV中的一组向量α1,⋯ ,αr\alpha_1,\cdots,\alpha_rα1​,⋯,αr​，我们希望得到一个VVV的子空间WWW，使得WWW中包含向量α1,⋯ ,αr\alpha_1,\cdots,\alpha_rα1​,⋯,αr​， 那么WWW应该是怎样的呢？由线性空间对数乘运算的...

经常有同学问复数集合作为复数域和实数域上的线性空间的区别，本文给予一个比较详细的解释。1 线性空间定义的四个要素线性空间V(+,⋅)V(+,\cdot)V(+,⋅)是一个代数系统，它的定义有四个要素：（1）一个数域PPP；（2）一个非空集合VVV；（3）两种线性运算：加法和数乘；（4）八条运算规律：加法运算律A1∼A4A_1\sim A_4A1​∼A4​, 数乘运算律M1∼M4M...

符号：PPP——数域；Pm×nP^{m\times n}Pm×n——m×nm\times nm×n矩阵的集合；PnP^nPn——nnn元有序数组空间;r(A)r(A)r(A)——AAA的秩.一、 预备知识设矩阵A∈Pm×nA\in P^{m\times n}A∈Pm×n, 矩阵AAA的秩为r(A)=r.r(A)=r.r(A)=r. 设x∈Pn,x=(x1,x2,⋯&ThinS...