二次型化标准形的三种方法

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#线性代数 #二次型 #标准形

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二次型化标准形的三种方法

将二次型化为标准形有利于我们了解二次型的简单形式、二次型的各种参数如正负惯性指数、得到二次型的规范形、对称矩阵合同的简单形等等。另外，化标准形也是解析几何化简二次曲线和二次曲面的需要。

下面，我们以两道题目为例说明计算二次型的标准形的三种方法：

配方法
合同变换法
特征值法

第一题

例1 计算二次型 $XTAX=x12+5x22+5x32+2x1x2−4x1x3\displaystyle X^TAX=x_1^2+5x_2^2+5x_3^2+2x_1x_2-4x_1x_3$ 的标准形.

方法一：配方法

配方法的要领是：第一次将所有含有 $x_1$ 的项集中到一起，进行配方，从而消掉含有 $x_1$ 的交叉项，第二次将含有 $x_2$ 的项集中到一起进行配方……直到去掉所有的交叉项.

解：将含有 $x1\displaystyle x_1$ 的项集中起来进行配方：

$X^TAX=x_1^2+2x_1(x_2-2x_3)+5x_2^2+5x_3^2$

$x_1+x_2-2x_3)^2-(x_2-2x_3)^2+5x_2^2+5x_3^2$

$x_1+x_2-2x_3)^2+4x_2^2+x_3^2+4x_2x_3$

$x_1+x_2-2x_3)^2+(2x_2+x_3)^2$

$y_1^2+y_2^2,$

其中，非退化线性替换为：

${x1+x2−2x3=y12x2+x3=y2x3=y3,\begin{cases} x_1+x_2-2x_3&=&y_1\\ \quad \quad \quad 2x_2+x_3&=&y_2\\\quad \quad \quad \quad \quad \quad x_3&=&y_3\end{cases},$

即，

${x1=y1−12y2+52y3x2=12y2−12y3x3=y3□\begin{cases}x_1&=&y_1-\frac{1}{2}y_2+\frac{5}{2}y_3\\x_2&=& \frac{1}{2}y_2-\frac{1}{2}y_3\\ x_3&=&y_3\end{cases}\quad\quad\square$

方法二：合同变换法

解：
$[11−2150−205100010001]→−r1+r2[11−2042−205100010001]\begin{bmatrix}1&1&-2\\1&5&0\\-2&0&5\\1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}\xrightarrow{-r_1+r_2}\begin{bmatrix}1&1&-2\\0&4&2\\-2&0&5\\1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}$

$→−c1+c2[10−2042−2251−10010001]→2r1+r3[10−20420211−10010001]\xrightarrow{-c_1+c_2}\begin{bmatrix}1&0&-2\\0&4&2\\-2&2&5\\1&-1&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}\xrightarrow{2r_1+r_3}\begin{bmatrix}1&0&-2\\0&4&2\\0&2&1\\1&-1&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}$

$→2c1+c3[1000420211−12010001]→−12r2+r3[1000420001−12010001]\xrightarrow{2c_1+c_3}\begin{bmatrix}1&0&0\\0&4&2\\0&2&1\\1&-1&2\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}\xrightarrow{-\frac{1}{2}r_2+r_3}\begin{bmatrix}1&0&0\\0&4&2\\0&0&0\\1&-1&2\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}$

$→−12c2+c3[1000400001−15201−12001]\xrightarrow{-\frac{1}{2}c_2+c_3}\begin{bmatrix}1&0&0\\0&4&0\\0&0&0\\1&-1&\frac{5}{2}\\0&1&-\frac{1}{2}\\0&0&1\end{bmatrix}$

所以，标准形为，

$X^TAX=y_1^2+4y_2^2.$

非退化线性替换矩阵为，

$C=[1−15201−12001].□C=\begin{bmatrix}1&-1&\frac{5}{2}\\0&1&-\frac{1}{2}\\0&0&1\end{bmatrix}.\quad\square$

方法三：特征值法

解：令

$A=[11−2150−205].A=\begin{bmatrix}1&1&-2\\1&5&0\\-2&0&5\end{bmatrix}.$

由矩阵的特征多项式

$∣λE−A∣=∣λ−1−12−1λ−5020λ−5∣|\lambda E-A|=\begin{vmatrix}\lambda-1&-1&2\\-1&\lambda-5&0\\2&0&\lambda-5\end{vmatrix}$

$=2r2+r3∣λ−1−12−1λ−5002(λ−5)λ−5∣\overset{2r_2+r_3}{=}\begin{vmatrix}\lambda-1&-1&2\\-1&\lambda-5&0\\0&2(\lambda-5)&\lambda-5\end{vmatrix}$

$=−2c3+c2∣λ−1−52−1λ−5000λ−5∣\overset{-2c_3+c_2}{=}\begin{vmatrix}\lambda-1&-5&2\\-1&\lambda-5&0\\0&0&\lambda-5\end{vmatrix}$

按照第三行展开得，

$=(λ−5)(λ2−6λ)=(\lambda-5)(\lambda^2-6\lambda)$

得到 $A\displaystyle A$ 的特征值为0，5，6.

此时，得到二次型 $X^TAX$ 的标准形为，

$XTAX=5y12+6y22.□X^TAX=5y_1^2+6y_2^2. \quad\quad \square$

注：（1）由于二次型的标准形不唯一，所以三种方法得到的结果都不一样。
（2）由于只要求标准形，所以第三种方法所使用的正交变换我们省去不求了，到时专门就“使用正交变换化二次型为标准形”写一篇文章介绍。
在这里插入图片描述

第二题

例2 计算二次型 $X^TAX=-4x_1x_2+2x_1x_3+2x_2x_3$ 的标准形.

由于这道题目没有平方项，所以在使用配方法和合同变换法的时候需要先处理一下，以便化为例1的情况进行求解。特征值法与例1相同，所以不再赘述。

简要解答：

方法一：配方法

分析：为了得到一个平方项，可以将 $x_1$ 设为两数之和，将 $x_2$ 设为这两数之差.

解：作非退化线性替换，

${x1=y1+y2x2=y1−y2x3=y3,\begin{cases}x_1=y_1+y_2\\x_2=y_1-y_2\\x_3=y_3\end{cases},$

$X^TAX=-4y_1^2+4y_2^2+4y_1y_3,$

下面的步骤与例1同.

方法二：合同变换法

分析：为了将左上角变出一个非零元，可以考虑将第二行（或者第三行）加到第一行，同时将第二列（或者第三列）加到第一列.

解：

$[0−21−201110100010001]→r3+r1[1−11−201110100010001]\begin{bmatrix}0&-2&1\\-2&0&1\\1&1&0\\1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}\xrightarrow{r_3+r_1}\begin{bmatrix}1&-1&1\\-2&0&1\\1&1&0\\1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}$