「动态规划::背包DP」分组背包 / AcWing 9（C++）

Daking-

已于 2025-05-21 19:06:59 修改

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分类专栏：「动态规划」文章标签：算法

于 2025-05-03 01:17:51 首次发布

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概述

AcWing 3：

有 N 组物品和一个容量是 V 的背包。

每组物品有若干个，同一组内的物品最多只能选一个。
每件物品的体积是 vij，价值是 wij，其中 i 是组号，j 是组内编号。

求解将哪些物品装入背包，可使物品总体积不超过背包容量，且总价值最大。

输出最大价值。

输入格式

第一行有两个整数 N，V，用空格隔开，分别表示物品组数和背包容量。

接下来有 N 组数据：

每组数据第一行有一个整数 Si，表示第 i 个物品组的物品数量；
每组数据接下来有 Si 行，每行有两个整数用空格隔开，分别表示第 i 个物品组的第 j 个物品的体积和价值；

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

0<N,V≤1000
0<Si≤1000
0<vij,wij≤1000

输入样例

解释

3 5 2 1 2 2 4 1 3 4 1 4 5

输出样例：
8

我们已经讲解了01背包和完全背包，这回来说说分组背包。

前文详见：

「动态规划::背包」01背包 / AcWing 2（C++）

「动态规划::背包」完全背包 / AcWing 3（C++）

分组背包是变形的01背包，这次给物品加了一个分组属性，也就是说，这次是对物品组进行01背包。

我们来思考一下。

思路

dp就不得不由状态定义和子问题分解，我们来思索一下。

定义dp[a][b]为能够物品组选择范围为前a个组且当前背包最多能装体积为b的物品总量时的最优解。

这样，我们就可以从小问题推导出大问题的解，应该是这样的：

考虑选择范围为前i个组，体积为j，当dp[i - 1]的所有状态已知时，对于第i个组，那么dp[i][j]应该来自什么？

至少dp[i][j] = dp[i - 1][j];
枚举第i组的第k个物品，如果j >= v[i][k]，则考虑放入这个物品,dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - 1][j - v[i][k]] + w[i][k]);

看来我们需要三重循环。

解题过程

我们可以得到非常直观的三重循环。

int solve(){
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 0; j <= m; j++) {
            dp[i][j] = dp[i - 1][j];
            for (int k = 1; k <= len[i]; k++)
                if (j >= v[i][k])
                    dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - 1][j - v[i][k]] + w[i][k]);
        }
    return dp[n][m];
}

优化方案

在01背包中，我们有空间优化，同样的，分组背包也可以优化空间。

观察状态转移，可以发现：空间可以被优化成1维的。

我们不再用i存储当前的可选范围信息，取而代之的是，这个信息隐式地蕴含在每次循环中。

int solve(){
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = m; j; j--)
            for (int k = 1; k <= len[i]; k++)
                if (j >= v[i][k])
                    dp[j] = max(dp[j], dp[j - v[i][k]] + w[i][k]);
    return dp[m];
}

这里的细节是倒序枚举j，这和01背包思路是相同的，详见我的文章。

需要注意到是，应该在j循环内进行k循环，而不是反过来，否则，可能选取同一组内的多个物品。

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
constexpr int N = 105;
int v[N][N], w[N][N];
int len[N];
int dp[N];
int n, m;
int solve(){
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = m; j; j--)
            for (int k = 1; k <= len[i]; k++)
                if (j >= v[i][k])
                    dp[j] = max(dp[j], dp[j - v[i][k]] + w[i][k]);
    return dp[m];
}
int main(){
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> len[i];
        for (int j = 1; j <= len[i]; j++)
            cin >> v[i][j] >> w[i][j];
    }
    cout << solve();
    return 0;
}