「字符串」Manacher算法（马拉车）/ LeetCode 05（C++）

概述

思路

算法过程

复杂度

Code

概述

今天我们来讲一个巧妙地以O(n)时间复杂度求解字符串最大回文串的算法。

LeetCode 05：

给你一个字符串 s，找到 s 中最长的回文子串。

示例 1：

输入：s = "babad"
输出："bab"
解释："aba" 同样是符合题意的答案。

示例 2：

输入：s = "cbbd"
输出："bb"

思路

我们回想中心扩散法：抵达一个字符s[i]，向他的身前和身后同时遍历

while（s[i+r]==s[i-r]）r++，直到不再相等位置。

某字符处的中心扩散完毕后，其实已经将它身前身后的字符段落都搜索过了，那么如果我们搜索其后的字符能够利用这一点，能否避免不必要的搜索来达到线性时间复杂度O(n)呢？

我们不妨先研究比较简单的一种情况：回文子串只有一个回文中心，是一个奇字符串（后续我们可以用一些方法将奇偶字符串全部处理成奇字符串）

观察这段字符：

           --------x--------
             --a--     
char[i]: f t b a b x b a b t g
     i : 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
 Now i :       &   c   |

当我们来到char[7]='a'位置时(在图中用‘|’来表示),我们发现他被此前的以'x'为中心的当前最长回文串覆盖住了。

这表明我们可以用此处的以'x'为中心的对称点来快速判断而不需要进行暴力扩散。

回文中心：我们将'x'所在位置称为c，这是我们的回文中心。

半径数组r[i]：记录每个点的回文半径（回文半径=本身+扩散距离，如r[c]=5）容易发现i=7的对称点ii=c-(i-r[c])=3。(在图中用‘&’来表示)

我们发现ii的回文长度被c的回文长度完全覆盖，这意味着i的回文长度和ii是相等的（两侧对称），那么直接r[i]=r[ii]即可快速得到i的回文长度。

（思考：如果i的回文长度比ii更长的话，那么当初利用中心扩散判断c的回文时一定不是r[c]=5）

在进行遍历的同时维护中心c，如果某字符在c的屋檐下，那么可以利用回文串的对称性质来避免重复的暴力扩散（毕竟为了得到c的回文长度时我们进行过暴力扩散了），这就是Manacher算法的思想。

只在得到中心c时进行暴力扩散，后续的字符通过c来判断，这样我们就保证了c身前身后的字符只被遍历了一次，因此时间复杂度是O(n)。

算法过程

我们有两个工作要做：一是处理字符串使其称为奇字符串（只有一个中心字符）；二是判断i的对称位置ii的三种情况

首先对字符串进行插值处理：

string ss="#";
for(int i=0;i<s.size();i++){
ss.push_back(s[i]);
ss.push_back('#');
}
//s="abacc"则ss="#a#b#a#c#c#"

原字符串的任意回文子串长度为len，新字符串的长度为2*len+1，必然是奇字符串。
这一步的时间复杂度为O(n),有限个线性时间复杂度加和仍是线性的。

接下来开始判断三种情况：

i=7的对称点ii=3的回文半径被r[c]完全覆盖

           --------x--------
             --a--     
char[i]: f t b a b x b a b t g
     i : 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
 Now i :           c   |

此时r[i]=r[ii]，直接continue循环

i=7的对称点ii=3的回文半径超出r[c]
```
           --------x--------
         ------a------     
char[i]: b x b a b x b a b x g
     i : 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
 Now i :           c   |
```
此时对r[ii]进行截断，r[i]=ii-(c-r[c])。
这是因为如果r[i]==r[ii]，当初暴力扩散r[c]的时候得到的结果不可能使r[ii]超出r[c]，r[i]==r[ii]时得到的r[c]长度即为情况1)

i=7的对称点ii=3的回文半径恰好压线

           --------x--------
           ----a----
                 ------a------     
char[i]: f x b a b x b a b x b
     i : 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
 Now i :           c   |

此时我们只能知道r[i]至少等于r[ii]，此后应进行暴力扩散

最后，如果我们得到的新回文半径比r[c]长，那么应该令c=i来确保c的r[c]的全局最大性。
至于i>c+r[c]-1？(i不在最长回文串覆盖下)直接暴力扩散就好了。

得到结果后利用string::substr(int pos，int n)（从pos开始的n个字符）方法截取以c为中心的全局最长回文串,过滤掉插值字符'#'后输出答案即可。

复杂度

时间复杂度: O(n)

空间复杂度: O(n)

Code

class Solution {
public:
    string longestPalindrome(string s) {
        string ss="#";
        for(int i=0;i<s.size();i++){ss.push_back(s[i]);ss.push_back('#');}//处理字符串
        int c=0,r[2001]={1,};
        for(int i=1;i<ss.size();i++){
            int j=1;//用j临时表示当前得到的回文半径
            if(i<=c+r[c]-1){//i在当前最长回文串中
               int ii=c-(i-c);//↓以下为讨论三种情况
               if(ii-r[ii]>c-r[c]){r[i]=r[ii];continue;}//r[ii]被r[c]完全覆盖
               else if(ii-r[ii]<c-r[c]){r[i]=ii-(c-r[c]);continue;}//r[ii]超出r[c]
               else j=r[ii];//r[ii]压线
            }
            //↓需要暴力扩散：i不在回文串中或r[ii]压线
            while(i+j<ss.size()&&i-j>=0&&ss[i+j]==ss[i-j])j++;
            r[i]=j;
            if(r[i]>=r[c])c=i;//更新c保证其全局最大
        }
        //↓生成答案，ans保存答案，ANS保存未过滤‘#’的临时字符串
        string ans="",ANS=ss.substr(c-r[c]+1,2*r[c]-1);
        for(int i=0;i<ANS.size();i++)
           if(ANS[i]!='#')ans.push_back(ANS[i]);
        return ans;
    }
};