「动态规划::背包DP」完全背包 / AcWing 3（C++）

原创已于 2025-05-21 19:06:45 修改 · 610 阅读

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#动态规划 #c++ #算法

于 2025-05-03 00:49:51 首次发布

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概述

AcWing 3：

有 N 种物品和一个容量是 V 的背包，每种物品都有无限件可用。

第 i 种物品的体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数，N，V用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 N 行，每行两个整数,用空格隔开，分别表示第 i 种物品的体积和价值。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

0<N,V≤10000
0<vi,wi≤10000

输入样例

解释

4 5 1 2 2 4 3 4 4 5

输出样例：
10

01背包「动态规划::背包」01背包 / AcWing 2（C++）探讨的是选与不选的问题，而完全背包探讨的是在可无限重复选择物品的问题。

选择无限个相同的物品，似乎有些反直觉，我们来思考一下。

思路

dp就不得不由状态定义和子问题分解，我们来思索一下。

定义dp[a][b]为能够物品选择范围为前a个物品且当前背包最多能装体积为b的物品总量时的最优解。

这样，我们就可以从小问题推导出大问题的解，应该是这样的：

考虑选择范围为前i个物品，体积为j，当dp[i - 1]的所有状态已知时，对于第i个物品，那么dp[i][j]应该来自什么？

至少dp[i][j] = dp[i - 1][j];
如果j >= v[i]，则考虑放入这个物品,dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][j - v[i]] + w[i]);

情况二是指：第i个物品可能放入过背包，故仍从dp[i]转移。因为dp[a][b]的定义就是选择范围为前a个物品时的最优解，也就是我们用相同的范围来更新不同容量时的背包状态，这就使得物品的选择可以重复了。

解题过程

我们可以得到非常直观的二重循环。

int solve(){
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 0; j <= m; j++) {
            dp[i][j] = dp[i - 1][j];
            if (j >= v[i])
                dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][j - v[i]] + w[i]);
    }
    return dp[n][m];
}

优化方案

在01背包中，我们有空间优化，同样的，完全背包也可以优化空间。

观察状态转移，可以发现：空间可以被优化成1维的。

我们不再用i存储当前的可选范围信息，取而代之的是，这个信息隐式地蕴含在每次循环中。

int solve(){
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = v[i]; j <= m; j++) {
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - v[i]] + w[i]);
    }
    return dp[m];
}

01背包的核心在于j倒序枚举，是为了避免本次的物品i污染上次的数据，然而在完全背包中，我们恰好要利用它来进行对物品i的重复选择，也就是说，完全背包正好需要正序枚举j。

形象的说，我们对于物品i，不断尝试对背包扩容，试图放入更多的物品i。

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
constexpr int N = 1005;
int v[N], w[N];
int dp[N];
int n,m;
int solve(){
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = v[i]; j <= m; j++) {
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - v[i]] + w[i]);
    }
    return dp[m];
}
int main(){
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        cin >> v[i] >> w[i];
    cout << solve();
    return 0;
}