Games101 透视投影矩阵推导

于 2024-06-26 01:01:32 发布
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分类专栏： 计算机图形学 文章标签： 矩阵 线性代数 webgl 图形渲染
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齐次坐标

透视投影

透视投影的四棱锥体挤压为正交投影的长方体 

变换规定

转换过程

观察1

 观察2 

关于任意一点挤压后向哪里移动的问题，简单推导了一下 

齐次坐标

如下，(x, y, z, 1) 表示空间中的xyz点，让它每个分量乘以k，k!=0，得到的齐次坐标也是表示空间中的这个点，同样，乘以z，得到的也是xyz这个点

透视投影

从一个点往外延伸出来一个四棱锥，这个点就是相机，定义 远平面f 和 近平面n，透视投影视椎体的区别就在于它的远平面要比近平面更大，那么如何计算这个不规则的视体矩阵呢？

  1. 将透视相机的Frustum挤压为正交相机的Cuboid
  2. 再用正交投影矩阵相乘与上方变换矩阵相乘，即可得到最终的透视投影矩阵

 

透视投影的四棱锥体挤压为正交投影的长方体 

变换规定

  1. 近平面上的点，挤压后也不会变化
  2. 远平面上的点的z值是f，挤压后的z值仍然是f，它的z值不会发生变化，只是整体在向里面收缩
  3. 箭头指向的远平面中心点，挤压后仍然是中心点（0，0，f）

         

转换过程

 如下，从侧面看向Frustum，蓝色箭头指向的是相机摆放的位置，上方向是Y，朝向-Z方向看，往右边看到的区域是近，远平面的一半

已知n，z，远平面上的xyz点，要把y挤压为 y'，根据相似三角形可得 y'/y = n/z

满足如下规律 

 

当然，对于x，同样满足相似三角形规律

 

可得出结论，给定任何一点xyz，它被挤压后的点坐标一定是 (nx/z, ny/z, unkown, 1)T, 挤压的变换的矩阵左乘xyz点即可得到这个点

根据齐次坐标性质，另如下中间的齐次坐标点同乘z，得到的坐标依然不变，那么经过挤压变换后的点，依然可以用右边齐次坐标表示

现在，已知挤压变换后的 x y w 三个分量， 已经可以写出变换矩阵的 1 2 4 行的值

那么，第三行的行向量又是多少呢？ 

 

观察

  • 任何一个点在近的平面上经过挤压后不会发生任何变化，也就是，对于近平面上的点(x, y, n, 1) 经过矩阵变换后得到的点仍然是 (x, y, n, 1) （近平面的z值为n）
  • 任何一个点在远的平面上经过挤压后它的xy值会朝里挤，但z值不会发生变化

观察1

挤压后的近平面上的点依然是(x, y, n, 1)，另每个分量乘以 n，得到（nx，ny，n^2, n），依然表示这个点，那么我们就探讨什么样的挤压矩阵左乘(x, y, n, 1) 会 得到 （nx，ny，n^2, n）

上面已经推导出挤压变换矩阵的第 1 2 4 行向量，思考： 第三行的向量 *（x, y, n, 1）= n^2

由于点乘的结果是n^2，则必定跟xy没关系，讨论 A和B的取值即可

这里A和B的值并不能确定，因为 A=n, B=0 成立，  A=0, B=n^2 也成立

 观察2 

远平面的中心点经过挤压后它的坐标仍不会变化，依然是（0，0，f）由于w分量需要存储z值，另分量同乘以f，得到下图最右侧齐次坐标，从上 近平面，我们依然讨论挤压矩阵的第三行向量， 向量 * (0, 0, f, 1) = f^2

综观察1，观察2，可以得出如下两个等式

 

n, y已知，两个式子，两个未知数， 很容易得出 A，B的值

至此可解出 Mpersp -> ortho 透视投影的Frustum挤压为正交相机的Cuboid 的变换矩阵

接下来，将 挤压变换矩阵 乘以 正交投影的投影矩阵 即可求出最终的透视投影矩阵

正交投影矩阵推导：Games101 正交投影矩阵推导-优快云博客

 

关于任意一点挤压后向哪里移动的问题，简单推导了一下 

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