详细的世界坐标转屏幕坐标及投影矩阵的推导

最新推荐文章于 2025-03-15 19:58:10 发布

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#线性代数

投影矩阵网上推导一大堆，怎么构建矩阵，怎么运用透视除法等都有说，但说清楚为什么这样做的貌似不多。我现在尝试用矩阵乘法的本质去说明投影矩阵是怎么推导的。

以下向量统一用列向量表示法。

1.坐标转换

坐标的表达形式（Fundamentals of Computer Graphics, 4th page 135）

看上图，p在世界坐标系下的坐标值有两种表示法：

$p=o+x_{p}x+y_{p}y$

$p=e+u_{p}u+v_{p}v$

其中：

$(x_{p},y_{p})=(2.5,0.9)$

$(u_{p},v_{p})=(0.5,-0.7)$

u，v是e坐标系下的标准正交基。

从图中可以看到，p在o坐标系下的坐标是(2.5,0.9)，在e坐标系下是(0.5,-0.7)。

但按上面两个公式，算出来的值都是(2.5,0.9)。

我们把 $p=e+u_{p}u+v_{p}v$ 的方程化为矩阵：

从矩阵可以看出(x,y)->(u,v)的转换关系。如下式：

那么，e坐标系下的坐标可由下式求的：

$\begin{bmatrix} u_{p}\\ v_{p}\\ 1 \end{bmatrix}= {\begin{bmatrix} u &v &e \\ 0 & 0& 1 \end{bmatrix}}^{-1}p_{xy}$

由于[u v]是正交矩阵，所以有：

$\begin{bmatrix} u &v \end{bmatrix}^{-1} =\begin{bmatrix} u &v \end{bmatrix}^{t} =\begin{bmatrix} u^{t}\\ v^{t} \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} u_{p}\\ v_{p}\\ 1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} x_{u} &y_{u} &0 \\ x_{v} & y_{v} & 0\\ 0 &0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 &-x_{e} \\ 0 & 1 &-y_{e} \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{p}\\ y_{p}\\ 1 \end{bmatrix}$

说了这么多，目的是为了引出下面的推导，世界坐标转到摄像机空间坐标。

上式可写为：

$\begin{bmatrix} u_{p}\\ v_{p}\\ 1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} u^t &0 \\ v^t & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 &-x_{e} \\ 0 & 1 &-y_{e} \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{p}\\ y_{p}\\ 1 \end{bmatrix}$

2.摄像机矩阵推导

先明确一点：这里说的摄像机矩阵是指世界空间到摄像机的矩阵。

摄像机空间的三个基分别是向量right,up,look，世界空间中的位置是P。以R表示摄像机right向量，U表示up向量，V表示look向量，我们的目的是把R，U，V三个向量分别转换到x，y，z向量。

由于这个向量比较难转换，我们换种思路，把x，y，z轴转到RUV的矩阵是：

$R_{view}^{-1} = \begin{bmatrix} R_{x} & U_{x} & V_{x} & 0\\R_{y} & U_{y} & V_{y} & 0\\ R_{z} & U_{z} & V_{z} & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

由于该矩阵是正交矩阵，那么有

$R_{view} = (R_{view}^{-1})^{t} = \begin{bmatrix} R^t & 0\\ U^t & 0\\ V^t & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} R_{x} & R_{y} & R_{z} & 0\\U_{x} & U_{y} & U_{z} & 0\\ V_{x} & V_{y} & V_{z} & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$