向量的内积、长度、正交性

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#线性代数

本文概述了向量的基本概念，包括向量的内积定义、计算向量长度（模）的方法，以及标准正交基、标准正交化和正交矩阵在数学和信息技术中的重要性。
线性代数 --- 向量的内积与正交(垂直),Orthogonal Vectors
松下J27录放机
05-06 5988
一个向量和它自己的内积等于这个向量的长度的平方 从代数的角度来定义长度： 正如我在另外两篇文章中提到的，两个向量（这是默认是两个列向量）的内积，可以表示为也可以表示为。现在我们考虑一种特殊情形，现在我们有一个向量v=(1,2,3),那么这个向量自己和自己的内积是多少呢，他又代表了什么含义呢？ 一个向量和它自己的内积，是他的长度的平方。这个向量与他自己是重合的，夹角为0。下面我们就给出一个向量的长度的正式定义： 从几何的角度来定义长度： 在一个二维..............
线性代数之 向量的内积，外积，长度，正交与正交矩阵
qq_41035283的博客
11-15 6933
线性代数之 向量的内积，外积，长度，正交和正交矩阵向量的内积向量的外积向量的长度向量正交正交矩阵正交矩阵的扩展 向量的内积 对于列向量a,b∈Rna,b\in R^na,b∈Rn，其内积（点积）表示为： a⋅b=aTb=bTa=∑i=1naibi a \cdot b = a^Tb=b^Ta=\sum_{i=1}^n a_ib_i a⋅b=aTb=bTa=i=1∑n​ai​bi​ 向量的外积 这里仅讨论三维向量空间中的外积。 对于列向量a,b∈R3a,b\in R^3a,b∈R3，其外积（叉积）表示为： a×
第五章，向量空间，3-内积、长度、夹角和距离
qq_17065591的博客
08-19 1450
设有n维向量xx1x2⋮xnyy1y2⋮ynx_1 \\x_2 \\\vdots \\x_ny_1 \\y_2 \\\vdots \\y_nx​x1​x2​⋮xn​​​y​y1​y2​⋮yn​​​令xyx1y1x2y2⋯xnynxyx1​y1​x2​y2​⋯xn​yn​称xy[x,y]xy为向量x与y的内积。
（16）向量的内积、长度、正交性
革命队伍的螺丝钉
12-12 7182
定义1：n维实向量称为向量与的内积 定义2：实数称为向量的长度（或模，或范数）。 若，称为单位向量。 把向量单位化：若，则，则的模为1，为单位向量，称为把单位化。 定义3：当向量时，称为向量，的夹角。 定义4：当列向量，的内积为零，即时，称向量，正交，记 注： （1）零向量与任何向量都正交。 （2）定义了内积的向量空间称为欧氏空间。 定
【数学】 4、向量的内积、外积、模长
呆呆的猫的博客
11-07 7810
向量的内积、外积、模长
向量总结
影子
05-20 916
既有大小又有方向的量叫做向量。 1、向量积可以被定义为： 模长：（在这里θ表示两向量之间的夹角(共起点的前提下)（0° ≤ θ ≤ 180°），它位于这两个矢量所定义的平面上。） 2、向量的大小，也就是向量的长度(或称模)。 空间向量（x，y，z），其中x，y，z分别是三轴上的坐标，模长是 平面向量（x，y），模长是： 3、向量的和的模 4、数量积 数量积（又叫内积、点积） 向量的内积（点乘） 俩个向量a与b的内积为,特别地，0·a=a·0= 0；若...
试题：向量的内积与正交性.docx
04-13
在处理向量的内积与正交性的问题时，首先需要了解向量的内积定义：对于两个向量a=(a1,a2,...,an)和b=(b1,b2,...,bn)，它们的内积定义为a⋅b=a1b1+a2b2+...+anbn。若两个向量的内积为零，则称这两个向量正交。在解决...
向量的内积与正交矩阵PPT课件.pptx
10-11
向量的内积与正交矩阵PPT课件 本PPT课件主要介绍了向量的长度及性质、正交向量组的概念及求法、规范正交基的求法、正交矩阵与正交变换的定义等知识点。 一、向量的长度及性质 ... + 正交变换保持向量的长度和内积。
实验七 向量内积与正交及其应用
06-28
### 实验七 向量内积与正交及其应用 #### 实验目标 本次实验旨在深化学生对于向量内积与正交的理解，通过实践掌握MATLAB软件在处理向量和矩阵运算中的应用技巧。具体目标包括： 1. **理解内积与正交的基本概念及...
向量的内积和外积
清零2015的博客
11-11 3379
背景 把学过的数学知识整理一下，虽然一时用不到，但相信将来的某个时间点，会有用武之地的。 1 向量，向量的模，数量积（内积，点积），向量积（外积，差积） 向量的积有2种： 数量积（也叫内积，点积），是数量，是实数 向量积（也叫外积，差积），是向量 别名这么多，烦它，特此整理一下。 1.1 向量的概念 向量是有方向的线段。 向量的表示有2种： 1.2 向量的模 1.3 数量积（内积，点积） 数量...
向量的内积、长度和正交性
weixin_33682719的博客
04-06 1200
1、内积的计算 2、长度（范数）的计算 3、两边夹角与内积 4、投影向量：向量a在向量b上的投影为c，夹角为θ，则 且向量c的方向与向量b相同，为b/||b||（一个向量除以它的模得到单位向量，即它的方向），则 5、根据1,3,4，推出： 6、向量加减法：遵循平行四边形法则，即如下图，a+b的结果是平行四边形的长对角线由A点至C...
【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数（15）：向量的内积、长度及正交性
海到无边天作岸 山登绝顶我为峰
09-25 2612
5.1 向量的内积、长度及正交性 定义1 设有nnn维向量 x=[x1x2...xn],y=[y1y2...yn]x=\begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ .\\ .\\ .\\ x_n \end{bmatrix},y = \begin{bmatrix} y_1\\ y_2\\ .\\ .\\ .\\ y_n \end{bmatrix} x=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡​x1​x2​...xn​​⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤​,y=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡​y1​y2​...yn​​⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤​ 令[x,y]=x1
向量的内积、长度及正交性
光英的记忆博客
03-29 2836
线性代数学习笔记——第二十八讲——向量内积的概念与性质
预见未来to50的专栏
08-23 9809
1. 内积的定义 2. 内积的意义（内积与模、向量在另一向量上的投影、向量的夹角的关系） 3. 向量内积的运算律 4. 向量内积的应用示例（已知平行四边形的两条邻边及一条对角线的长度，求另一对角线的长度） ...
【理论基础】向量的内积和范数
chen1234520nnn的博客
07-14 5467
一、向量的数量积(内积)： 已知两个非零向量a、b，那么|a||b|cosθ（θ是a与b的夹角）叫做a与b的数量积或内积。记作a·b； 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和： 数量积a·b等于 a的长度|a| 与 b在a的方向上的投影|b|cosθ 的乘积 向量属于n维复向量空间，每个表示向量在第i维空间中的坐标值。 向量的模(即向量a的长度)为： 二、向量的范数理解： 向量的范数可以理解成距离。 向量的1-范数： **向量的2-范数： 向量2范数可以理解为点
向量的模和范数
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11-03 6万+
 向量的模 向量的大小(或长度）叫做向量的模，记作||。 平面向量=(x,y)，模长是： 空间向量= (x,y,z)，模长是： 对于向量属于n维复向量空间=(x1,x2…,xn)，的模为‖‖=sqrt((x,x*))(x与x共轭的内积再开方) 模是绝对值在二维和三维空间的推广，可以认为就是向量的长度。推广到高维空间中称为范数。 模和范数的关系 模是空间几何的
线性代数第六章 二次型
oscar999的专栏
12-02 1425
本文介绍了二次型的基本概念、矩阵表示及相关性质。主要内容包括： 二次型的定义与矩阵表示：二次型可表示为xᵀAx的形式，其中A为对称矩阵，秩定义为矩阵A的秩。 标准形与规范形：通过可逆线性变换可将二次型化为标准形（对角形式）和规范形（系数为±1或0）。 可逆线性变换：x=Py（P可逆）保持二次型的秩，合同矩阵具有相同的秩和惯性指数。 正定性判定：二次型正定的充要条件是特征值全正或顺序主子式全正。 变换方法：详细介绍了正交变换法和配方法将二次型化为标准形的步骤。 几何意义与分类：二次型对应几何中的二次曲面，根据
【线性代数\矩阵论】最小二乘估计详解：普通最小二乘与加权最小二乘
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AI Chen的博客
12-07 390
最小二乘估计是参数估计的基础方法，包括普通最小二乘(OLS)和加权最小二乘(WLS)。OLS通过最小化误差平方和估计参数，适用于同方差噪声；WLS则通过引入权重矩阵处理异方差噪声，最优权重为噪声协方差矩阵的逆。OLS在满足假设条件下是最优线性无偏估计，而WLS能更有效地处理异方差数据。两种方法的核心区别在于权重矩阵的选择，分别对应不同噪声特性下的最优估计。
线代第一章第四课：行列式的性质
qq_43085588的博客
12-03 371
把上面行列式按照主对角线翻转后结果如下，使用来表示：转置后，在转置行列地位相同，对行性质，队列性质现有一个上三角行列式如下转置后为下三角行列式所以用k乘以D的某一行元素，等于用k乘以D如下有一个4阶行列式，结果是主对角线相乘将第一行元素都乘以 k，第一行第一列为1，其他项目均为0，则行列式如下：所以如果有n行都乘以k，则交换两行(列)行列式，D值符号改变如下有一个3阶行列式，按行展开，依据列标排列统计逆序数，1后面为0，2后面为0，3后面为0， 则逆序数为0+0+0。
MATLAB实验：向量内积、正交及规范化应用
内积具有线性性和共轭对称性，且如果 `dot(x, y) = 0`，则称这两个向量是正交的。在MATLAB中，`dot()` 函数用于计算两个向量的内积，如例子所示，`dot(a, b)` 返回 `-2`，表明向量 `a` 和 `b` 正交。 2. 向量模和...
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