【线性代数·上·笔记一】几个简单的秩不等式

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#线性代数 #笔记

于 2024-01-06 11:12:32 首次发布

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本文探讨了几个关于矩阵秩的不等式，包括秩的加法性质、乘积秩的上下界以及Sylvester不等式，通过线性映射和矩阵操作的视角进行证明。

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前言

这几个秩不等式很常见，重要的是通过线性空间和线性映射的观点去证明。

命题
设 $A$ , $B$ 为 $n$ 阶方阵， $A B = 0$ ，则有
$rank(B)\le n$

分析
线性映射基本定理的简单应用。

证明
$A B = 0$ 说明 $B$ 的每一列都被 $B$ 映成零向量，从而 $\in Ker(A)$ ，那么有
$\leq dimKer(A)$
由线性映射基本定理可得
$rank(B)\le dimSpan(A) +dimKer(A)=n$
于是得证。

命题
设 $A$ , $B$ 为 $\times n$ ， $\times p$ 矩阵，则有
$\leq min\{rank(A), rank(B)\}$

分析
所谓的“秩越乘越小”。可以通过矩阵乘法运算得到这个结论，这里我们考虑另一种办法。

证明
$A B$ 乘一个列向量 $α\alpha$ 可以看作两步。第一步， $B$ 乘 $α\alpha$ ；第二步， $A$ 再乘 $BαB\alpha$ 。

第一步可以看作映射：
$σ1:Fp→Fn,[x1⋮xp]↦B[x1⋮xp]\sigma_1:\mathbb{F}^{p}\to\mathbb{F}^{n}, \begin{bmatrix} x_1\\ \vdots\\ x_p \end{bmatrix} \mapsto B\begin{bmatrix} x_1\\ \vdots\\ x_p \end{bmatrix}$
第二步可以看作映射，这一步的像集也就是 $I m (A B)$ ：
$σ2:Span(B)→Fm,[x1⋮xn]↦A[x1⋮xm]\sigma_2:Span(B)\to\mathbb{F}^{m}, \begin{bmatrix} x_1\\ \vdots\\ x_n \end{bmatrix} \mapsto A \begin{bmatrix} x_1\\ \vdots\\ x_m \end{bmatrix}$
所以
$rank(AB)=dim(Span(A∣Im(B)))rank(AB)=dim(Span(A\big|_{Im(B)}))$

由于
$Span(A∣Im(B))∈Span(A)Span(A\big|_{Im(B)})\in Span(A)$
从而 $\leq rank(A)$
由于转置运算不改变矩阵的秩，所以 $rank(AB)=rank(BTAT)≤rank(BT)=rank(B)rank(AB)=rank(B^TA^T) \leq rank(B^T)=rank(B)$
整理即有 $\leq min\{rank(A), rank(B)\}$

命题(Sylvester不等式)
设 $A$ , $B$ 为 $n$ 阶方阵， $A B = 0$ ，则有
$\ge rank(A)+rank(B)-n$

分析
与上一个不等式的证明思路类似。

证明
即证明
$\ge rank(B) - rank(AB)$
发现
$dimKer(A)\geq右边=dimKer(A|_{Im(B)})$
从而得到了证明。

命题
设 $A$ , $B$ 为 $\times p$ ， $\times q$ 矩阵，则有
$\leq rank(A|B)\leq rank(A)+rank(B)$

分析
将矩阵看作列向量组，然后观察它们的关系

证明
显然 $A + B$ 的列向量组可以被 $A ∣ B$ 线性表出，故 $\leq rank(A|B)$ ，

设 $A, B$ 的极大无关组分别是 $(α1,α2,…,αs)(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s)$ ， $(β1,β2,…,βk)(\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_k)$ ，

那么 $rank(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s,\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_s) \leq s+k=rank(A)+rank(B)$ ，

于是得到了证明。

命题
设 $A$ , $B$ 为 $\times n$ ， $\times m$ 矩阵，则有
$\begin{pmatrix} A&O \\ O&B\\ \end{pmatrix} = rank(A)+rank(B)$

分析
证明思路与上一题一致

证明
设 $A, B$ 的极大无关组分别是 $(α1,α2,…,αj)(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_j)$ ， $(β1,β2,…,βk)(\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_k)$ ，所以
$\begin{pmatrix} A&O \\ O&B\\ \end{pmatrix}=rank \begin{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha_1\\ 0\\ \end{pmatrix}，\begin{pmatrix} \alpha_2\\ 0\\ \end{pmatrix}，\dots, \begin{pmatrix} \alpha_j\\ 0\\ \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0\\ \beta_1\\ \end{pmatrix}，\begin{pmatrix} 0\\ \beta_2\\ \end{pmatrix}，\dots, \begin{pmatrix} 0\\ \beta_k\\ \end{pmatrix} \end{pmatrix}$
由定义立得右边的向量组线性无关，所以
$\begin{pmatrix} A&O \\ O&B\\ \end{pmatrix} = j+k=rank(A)+rank(B)$
这样就证明了这个等式。

命题
设 $A, B, C$ 为 $\times n,l \times m,s \times m$ 矩阵，则有
$\begin{pmatrix} A&O \\ C&B\\ \end{pmatrix} \ge rank(A)+rank(B)$

分析
证明思路与上一题没差多少

证明
设 $A, B$ 的极大无关组分别是 $(α1,α2,…,αj)(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_j)$ ， $(β1,β2,…,βk)(\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_k)$ ，所以

$\begin{pmatrix} A&O \\ C&B\\ \end{pmatrix} \ge rank \begin{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha_1\\ c_1\\ \end{pmatrix}，\begin{pmatrix} \alpha_2\\ c_2\\ \end{pmatrix}，\dots, \begin{pmatrix} \alpha_j\\ c_j\\ \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0\\ \beta_1\\ \end{pmatrix}，\begin{pmatrix} 0\\ \beta_2\\ \end{pmatrix}，\dots, \begin{pmatrix} 0\\ \beta_k\\ \end{pmatrix} \end{pmatrix}$
这是因为由定义立即知右边的向量组线性无关，而且 $((α1c1)，(α2c2)，…,(αjcj))(\begin{pmatrix} \alpha_1\\ c_1\\ \end{pmatrix}，\begin{pmatrix} \alpha_2\\ c_2\\ \end{pmatrix}，\dots, \begin{pmatrix} \alpha_j\\ c_j\\ \end{pmatrix})$ 不一定张成 $\begin{pmatrix} A\\C \end{pmatrix}$ ，从而就不难得到
$\begin{pmatrix} A&O \\ C&B\\ \end{pmatrix} \ge rank(A)+rank(B)$