36、广义Mycielski图浸入数的研究

广义Mycielski图浸入数的研究

1. 引言

在图论中，广义Mycielski构造是一种重要的图变换方法。当应用广义Mycielski构造时，图的一些性质会发生变化，例如色数通常增加不超过1，但某些类图的浸入数可能会有更显著的变化。本文将深入探讨广义Mycielski图的浸入数相关问题，包括定理证明和具体例子分析。

2. 基本概念与定理证明

2.1 构造$K_t$浸入

考虑一个辅助的$K_{t - 1}$图，根据Vizing定理，它可以用至多$t - 1$种颜色进行适当的边着色。将$K_{t - 1}$的顶点标记为$b_1, \cdots, b_{t - 1}$，边的颜色标记为$a_1, a_2, \cdots, a_{t - 1}$。在图$G$的$K_t$浸入中，使用路径$b_i - a_k - b_j$，其中$a_k$是辅助图中边$b_ib_j$的颜色。由于边着色是适当的，图$G$的任何边在这些路径分配中不会被使用两次，从而定义了一个$K_t$浸入。

2.2 定理1证明

定理1：设$m \geq 1$为整数，且$im(G) = t$，则$im(\mu_m(G)) \geq t + 1$。
证明步骤如下：
1. 根据命题1，可在图$G$中选择一个具有不同邻点性质的$K_t$浸入。设$v_1, \cdots, v_t$为浸入的终端，$v_{f(1)}, \cdots, v_{f(t)}$为它们的不同邻点。
2. 当$m = 1$时，使用图$G$中的浸入，并添加一个与图$G$中所有顶点相邻的终端$w$。
3. 当$m = 2$时，为了在$\mu_2(G)$中形成一个$