35、图的和谐着色与广义Mycielski图的浸入数

图的和谐着色与广义Mycielski图的浸入数

1. 图的和谐着色

1.1 和谐着色的证明

在图的研究中，和谐着色是一个重要的概念。为了证明 $\chi_h(G) = 5 = \Delta(G) + 1$，我们需要提供一个和谐的 5 - 着色。
定义顶点着色 $c : V (G) \to \mathbb{Z} 5$ 如下：
[
c(v {i,j}) =
\begin{cases}
(j - 1) \pmod{5} & \text{if } i \equiv 1 \pmod{5} \
(j + 1) \pmod{5} & \text{if } i \equiv 2 \pmod{5} \
(j - 2) \pmod{5} & \text{if } i \equiv 3 \pmod{5} \
j \pmod{5} & \text{if } i \equiv 4 \pmod{5} \
(j + 2) \pmod{5} & \text{if } i \equiv 0 \pmod{5}
\end{cases}
]
这将导致图 $G$ 顶点的恰当着色，并诱导出图 $G$ 边的恰当着色。边着色 $c’$ 定义如下：
对于边 $e_{i,j}$：
[
c’(e_{i,j}) =
\begin{cases}
(3 - j) \pmod{5} & \text{if } i \equiv 1 \pmod{5} \
-j \pmod{5} & \text{if } i