28、图像中几何形状检测的参数变换方法

图像中几何形状检测的参数变换方法

在图像分析和处理领域，解决局部/全局推理问题是一个关键挑战。参数变换方法为我们提供了一种有效的途径来应对这一挑战。该方法假设图像中我们要寻找的对象可以用一个数学表达式来描述，而这个表达式又由一组参数表示。下面我们将深入探讨这种方法，特别是在寻找直线和圆的应用。

1. 参数变换概述

参数变换的核心思想是，给定一组满足同一方程的点（或其他特征），我们要找出该方程的参数。从某种意义上说，这类似于将曲线拟合到一组点上，但参数变换方法允许我们找到多条曲线，而无需事先知道哪个点属于哪条曲线。下面我们从寻找直线的特殊情况开始。

2. 霍夫变换

2.1 问题提出

假设我们要在图像中找到直线。如果图像中只有一条直线，我们可以使用直线拟合来确定曲线的参数。但当图像中有多个线段时，我们需要先进行分割，然后分别拟合每个线段。这实际上是一个分割问题，不过我们是将边界分割成边界段，而不是将图像分割成区域。

2.2 相关定义和定理

2.2.1 定义

在 d 空间中，给定一个点和定义该空间中曲线的参数化表达式，该点的参数变换是将该点视为常数，参数视为变量所得到的曲线。例如，对于直线方程 (y = ax + b)（其中 (a) 和 (b) 是描述直线的参数），其参数变换为 (b = y - xa)。给定具体点 (x = 3)，(y = 5)，则参数变换为 (b = 5 - 3a)。

2.2.2 定理

如果二维空间中的 (n) 个点共线，那么使用 (b = y - xa) 形式的这些点对应的所有参数变换曲线会在 (\lang